bsbs banhsgagsg

Câu 3. Phương trình $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9$ là phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $r=3$. a) Phương trình (S) là phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $r=3$. Do đó, phương án này sai. b) Điểm $I(1;-2;3)$ là tâm của mặt cầu (S). Do đó, phương án này đúng. c) Mặt cầu (S) có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $r=3$. Ta xét khoảng cách từ tâm $I$ đến trục Oz: \[ d(I,Oz) = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Vì $\sqrt{5} < 3$, nên mặt cầu (S) và trục Oz có điểm chung. Do đó, phương án này đúng. d) Mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính 9 có phương trình là $(Q):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=81$. Do đó, phương án này sai. Kết luận: - Phương án a) sai. - Phương án b) đúng. - Phương án c) đúng. - Phương án d) sai. Câu 4. Để giải quyết các câu hỏi về xác suất, ta sẽ áp dụng các công thức và tính chất của xác suất đã học. Cụ thể, ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến xác suất điều kiện và các tính chất cơ bản của xác suất. a) Tính \( P(A) \) và \( P(\overline{B}) \) - Ta biết rằng \( P(\overline{A}) = 0,4 \). Do đó: \[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0,4 = 0,6 \] - Ta cũng biết rằng \( P(B) = 0,8 \). Do đó: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2 \] b) Tính \( P(A|B) \) - Xác suất điều kiện \( P(A|B) \) được tính bằng công thức: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(A|B) = \frac{0,4}{0,8} = 0,5 \] c) Tính \( P(\overline{B}|A) \) - Xác suất điều kiện \( P(\overline{B}|A) \) được tính bằng công thức: \[ P(\overline{B}|A) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(A)} \] Ta biết rằng: \[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,6 - 0,4 = 0,2 \] Do đó: \[ P(\overline{B}|A) = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3} \] d) Tính \( P(\overline{A} \cap B) \) - Ta biết rằng: \[ P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,8 - 0,4 = 0,4 \] Kết luận - \( P(A) = 0,6 \) - \( P(\overline{B}) = 0,2 \) - \( P(A|B) = 0,5 \) - \( P(\overline{B}|A) = \frac{1}{3} \) - \( P(\overline{A} \cap B) = 0,4 \) Đáp số: \[ P(A) = 0,6 \] \[ P(\overline{B}) = 0,2 \] \[ P(A|B) = 0,5 \] \[ P(\overline{B}|A) = \frac{1}{3} \] \[ P(\overline{A} \cap B) = 0,4 \] Câu 1. Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + x - 1 \), \( y = x^4 + x - 1 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng cách giữa hai đường cong: Ta cần tính diện tích giữa hai đường \( y = x^2 + x - 1 \) và \( y = x^4 + x - 1 \). Khoảng cách giữa chúng là: \[ f(x) = (x^2 + x - 1) - (x^4 + x - 1) = x^2 - x^4 \] 2. Tính diện tích bằng tích phân: Diện tích \( A \) giữa hai đường từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \) là: \[ A = \int_{-1}^{1} (x^2 - x^4) \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta chia tích phân thành hai phần để dễ tính toán: \[ A = \int_{-1}^{1} x^2 \, dx - \int_{-1}^{1} x^4 \, dx \] Tính từng phần riêng lẻ: \[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] \[ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \] Kết hợp lại: \[ A = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{4}{15} \] 4. Làm tròn kết quả: \[ A \approx 0.2667 \quad (\text{lấy làm tròn đến hai chữ số thập phân}) \] Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + x - 1 \), \( y = x^4 + x - 1 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \) là \( 0.27 \). Câu 2. Để tính diện tích của logo, ta cần xác định diện tích giới hạn bởi hai parabol $y = f(x)$ và $y = g(x)$. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hai parabol: - Parabol $y = f(x)$ có dạng $y = ax^2 + bx + c$. - Parabol $y = g(x)$ có dạng $y = dx^2 + ex + f$. 2. Tìm giao điểm của hai parabol: - Giao điểm của hai parabol là các điểm thỏa mãn $f(x) = g(x)$. 3. Tính diện tích giữa hai parabol: - Diện tích giữa hai parabol từ $x = a$ đến $x = b$ là $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$. 4. Áp dụng vào bài toán: - Từ hình vẽ, ta thấy hai parabol giao nhau tại hai điểm $(-2, 0)$ và $(2, 0)$. - Ta cần tính diện tích giữa hai parabol từ $x = -2$ đến $x = 2$. 5. Tính diện tích: - Diện tích giữa hai parabol từ $x = -2$ đến $x = 2$ là: \[ S = \int_{-2}^{2} |f(x) - g(x)| \, dx \] 6. Lập phương trình và tính tích phân: - Ta giả sử $f(x) = x^2$ và $g(x) = -x^2 + 4$ (từ hình vẽ). - Diện tích giữa hai parabol là: \[ S = \int_{-2}^{2} |x^2 - (-x^2 + 4)| \, dx = \int_{-2}^{2} |2x^2 - 4| \, dx \] - Vì $2x^2 - 4$ là hàm chẵn, ta có: \[ S = 2 \int_{0}^{2} (4 - 2x^2) \, dx \] - Tính tích phân: \[ S = 2 \left[ 4x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( 4 \cdot 2 - \frac{2 \cdot 2^3}{3} \right) = 2 \left( 8 - \frac{16}{3} \right) = 2 \left( \frac{24}{3} - \frac{16}{3} \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] 7. Kết luận: - Diện tích của logo là $\frac{16}{3} \approx 5.3 \, dm^2$. Đáp số: Diện tích của logo là $5.3 \, dm^2$. Câu 3. Để tìm giá trị của \(c\) trong phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(M(5;4;3)\) và cắt các tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) các đoạn bằng nhau, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng \((\alpha)\) có dạng \(x + ay + bz + c = 0\). 2. Tìm giao điểm của mặt phẳng với các trục: Vì mặt phẳng cắt các tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) các đoạn bằng nhau, ta giả sử giao điểm của mặt phẳng với các trục là \((d, 0, 0)\), \((0, d, 0)\), và \((0, 0, d)\). Thay vào phương trình mặt phẳng ta có: - Với giao điểm \((d, 0, 0)\): \[ d + a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 0 \implies d + c = 0 \implies d = -c \] - Với giao điểm \((0, d, 0)\): \[ 0 + a \cdot d + b \cdot 0 + c = 0 \implies ad + c = 0 \implies d = -\frac{c}{a} \] - Với giao điểm \((0, 0, d)\): \[ 0 + a \cdot 0 + b \cdot d + c = 0 \implies bd + c = 0 \implies d = -\frac{c}{b} \] 3. Bằng nhau các đoạn cắt: Vì các đoạn cắt bằng nhau, ta có: \[ -c = -\frac{c}{a} = -\frac{c}{b} \] Điều này suy ra: \[ a = 1 \quad \text{và} \quad b = 1 \] 4. Thay vào phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng trở thành: \[ x + y + z + c = 0 \] 5. Thay tọa độ điểm \(M(5;4;3)\): Mặt phẳng đi qua điểm \(M(5;4;3)\), thay vào phương trình mặt phẳng ta có: \[ 5 + 4 + 3 + c = 0 \implies 12 + c = 0 \implies c = -12 \] Vậy giá trị của \(c\) là \(-12\). Câu 4. Để tìm góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (8-3, 8+2, 0-3) = (5, 10, -3) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy): Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$. 3. Tính cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy): Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). Ta có: \[ \cos(\theta) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{n}|} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (5, 10, -3) \cdot (0, 0, 1) = 5 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = -3 \] Tính độ dài của $\overrightarrow{AB}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 100 + 9} = \sqrt{134} \] Độ dài của $\overrightarrow{n}$ là 1 (vì $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$). Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{|-3|}{\sqrt{134} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{134}} \] 4. Tính góc $\theta$: \[ \theta = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{134}}\right) \] 5. Tính góc giữa đường bay và sân bay: Gọi $\alpha$ là góc giữa đường bay và sân bay, ta có: \[ \sin(\alpha) = \cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{134}} \] \[ \alpha = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{134}}\right) \] 6. Lập bảng giá trị và tính toán: \[ \frac{3}{\sqrt{134}} \approx 0.264 \] \[ \alpha \approx \arcsin(0.264) \approx 15^\circ \] Vậy, giá trị của góc $\alpha$ là khoảng 15 độ. Đáp số: $\alpha \approx 15^\circ$. Câu 5. Để tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số viên bi màu đỏ có đánh số: - Số viên bi màu đỏ là 50. - 60% số viên bi màu đỏ có đánh số: \[ 50 \times \frac{60}{100} = 30 \text{ viên} \] 2. Tính số viên bi màu vàng có đánh số: - Số viên bi màu vàng là 30. - 50% số viên bi màu vàng có đánh số: \[ 30 \times \frac{50}{100} = 15 \text{ viên} \] 3. Tổng số viên bi có đánh số: - Tổng số viên bi có đánh số là: \[ 30 + 15 = 45 \text{ viên} \] 4. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số: - Tổng số viên bi trong hộp là 80. - Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: \[ \frac{45}{80} = \frac{9}{16} \] Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là $\frac{9}{16}$.