Giúp mình với

Câu 12. Để viết phương trình mặt phẳng trực giao của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trực giao đoạn thẳng AB chính là vectơ AB. Ta tính vectơ AB: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1; 2 - 3; 2 + 4) = (-2; -1; 6) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng trực giao đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (-2; -1; 6)\). Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ -2(x - x_0) - 1(y - y_0) + 6(z - z_0) = 0 \] Chọn điểm \(A(1; 3; -4)\) để thay vào phương trình: \[ -2(x - 1) - 1(y - 3) + 6(z + 4) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -2x + 2 - y + 3 + 6z + 24 = 0 \] \[ -2x - y + 6z + 29 = 0 \] Nhân cả phương trình với -1 để dễ nhìn: \[ 2x + y - 6z - 29 = 0 \] 3. So sánh với các đáp án: Các đáp án đã cho là: \[ A.~(a):4x-2y+12z+17=0. \] \[ B.~(x):4x-2y-12z-7=0. \] \[ C.~(a):4x+2y-12z-17=0. \] \[ D.~(\alpha):4x+2y+12z+7=0. \] Ta thấy rằng phương trình \(2x + y - 6z - 29 = 0\) không khớp với bất kỳ đáp án nào. Tuy nhiên, nếu nhân cả phương trình này với 2, ta sẽ có: \[ 4x + 2y - 12z - 58 = 0 \] Điều này vẫn không khớp với bất kỳ đáp án nào. Do đó, có thể có lỗi trong việc so sánh hoặc các đáp án đã cho không chính xác. Kết luận: Phương trình mặt phẳng trực giao đoạn thẳng AB là \(2x + y - 6z - 29 = 0\). Câu 1. a) Ta thấy điểm $A(1;2;3)$ thỏa mãn phương trình của đường thẳng $d$, do đó điểm $A$ thuộc đường thẳng $d$. b) Để tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(R)$ và vuông góc với đường thẳng $d$, ta cần tìm một véc tơ chỉ phương của $\Delta$. Mặt phẳng $(R)$ có phương trình $x + 2y + z = 0$, do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n_R} = (1, 2, 1)$. Đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (0, -1, 4)$. Ta cần tìm một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{m}$ sao cho $\overrightarrow{m}$ vuông góc với cả $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{n_R}$. Ta thực hiện phép nhân vectơ để tìm $\overrightarrow{m}$: \[ \overrightarrow{m} = \overrightarrow{n_R} \times \overrightarrow{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0) = \mathbf{i}(8 + 1) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-1) = (9, -4, -1) \] Do đó, véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{m} = (9, -4, -1)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 2, 3)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{m} = (9, -4, -1)$, nên phương trình của $\Delta$ là: \[ \Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 9t \\ y = 2 - 4t \\ z = 3 - t \end{array} \right. \] c) Ta đã biết véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (0, -1, 4)$. d) Để tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(R)$, ta thay phương trình của $d$ vào phương trình của $(R)$: \[ 1 + 2(2 - t) + (3 + 4t) = 0 \] \[ 1 + 4 - 2t + 3 + 4t = 0 \] \[ 8 + 2t = 0 \] \[ 2t = -8 \] \[ t = -4 \] Thay $t = -4$ vào phương trình của $d$ để tìm tọa độ giao điểm: \[ x = 1 \] \[ y = 2 - (-4) = 6 \] \[ z = 3 + 4(-4) = 3 - 16 = -13 \] Do đó, đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(R)$ tại điểm $H(1, 6, -13)$. Đáp số: a) Điểm $A(1, 2, 3)$ thuộc đường thẳng $d$. b) Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 9t \\ y = 2 - 4t \\ z = 3 - t \end{array} \right.$ c) Véc tơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u} = (0, -1, 4)$. d) Đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(R)$ tại điểm $H(1, 6, -13)$. Câu 2. a) Xác suất để bạn đó là bạn nữ nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng: - Số bạn nữ có tên Hiền: 1 - Tổng số bạn có tên Hiền: 3 Xác suất: \[ P(\text{nữ} | \text{Hiền}) = \frac{1}{3} \] b) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ: - Số bạn nữ có tên Hiền: 1 - Tổng số bạn nữ: 17 Xác suất: \[ P(\text{Hiền} | \text{nữ}) = \frac{1}{17} \] c) Xác suất để có tên Hiền: - Tổng số bạn có tên Hiền: 3 - Tổng số học sinh: 30 Xác suất: \[ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] d) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam: - Số bạn nam có tên Hiền: 2 - Tổng số bạn nam: 13 (vì tổng số học sinh là 30, số bạn nữ là 17, nên số bạn nam là 30 - 17 = 13) Xác suất: \[ P(\text{Hiền} | \text{nam}) = \frac{2}{13} \] Đáp số: a) $\frac{1}{3}$ b) $\frac{1}{17}$ c) $\frac{1}{10}$ d) $\frac{2}{13}$ Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai điểm \( I(3;4;5) \) và \( M(7;10;17) \), chúng ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Công thức khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là: \[ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: - \( I(3, 4, 5) \) - \( M(7, 10, 17) \) Ta có: \[ d(I, M) = \sqrt{(7 - 3)^2 + (10 - 4)^2 + (17 - 5)^2} \] \[ d(I, M) = \sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} \] \[ d(I, M) = \sqrt{16 + 36 + 144} \] \[ d(I, M) = \sqrt{196} \] \[ d(I, M) = 14 \] Vậy khoảng cách giữa hai vị trí \( I \) và \( M \) là 14 mét. Đáp số: 14 mét. Câu 2. Gọi A là sự kiện "người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ" Gọi B là sự kiện "người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên 50 tuổi" Theo đề bài, ta có: P(A) = 0,48 (tức là xác suất người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ là 48%) P(B) = 0,36 (tức là xác suất người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên 50 tuổi là 36%) Ta cần tính xác suất của B khi biết rằng A đã xảy ra, tức là P(B|A). Theo công thức xác suất có điều kiện: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Trong đó, \( P(A \cap B) \) là xác suất cả hai sự kiện A và B cùng xảy ra. Theo đề bài, ta có: \[ P(A \cap B) = 0,36 \] Do đó: \[ P(B|A) = \frac{0,36}{0,48} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Vậy xác suất người mua bảo hiểm ô tô là phụ nữ trên 50 tuổi, khi biết rằng người đó là phụ nữ, là 0,75 hoặc 75%. Đáp số: 0,75 Câu 1. Để viết phương trình mặt cầu có tâm \( I(1,3,8) \) và đi qua điểm \( M(2,2,3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính \( R \) của mặt cầu: Bán kính \( R \) là khoảng cách từ tâm \( I \) đến điểm \( M \). Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ R = \sqrt{(x_M - x_I)^2 + (y_M - y_I)^2 + (z_M - z_I)^2} \] Thay tọa độ của \( I \) và \( M \): \[ R = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] 2. Viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu có tâm \( I(a,b,c) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Thay \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = 8 \) và \( R = 3\sqrt{3} \): \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 8)^2 = (3\sqrt{3})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 8)^2 = 27 \] Vậy phương trình mặt cầu là: \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 8)^2 = 27 \] Câu 2. Gọi A là sự kiện "một người bị nhiễm Covid", $\overline{A}$ là sự kiện "một người không bị nhiễm Covid". Gọi B là sự kiện "một người khi xét nghiệm cho kết quả dương tính". Ta có: P(A) = 0,04; P($\overline{A}$) = 1 - P(A) = 0,96 P(B|A) = 0,95; P(B|$\overline{A}$) = 0,03 Xác suất để người đó bị nhiễm Covid khi xét nghiệm cho kết quả dương tính là: P(A|B) = $\frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A) \times P(B|A) + P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A})}$ = $\frac{0,04 \times 0,95}{0,04 \times 0,95 + 0,96 \times 0,03}$ = $\frac{95}{133}$ Đáp số: $\frac{95}{133}$ Câu 3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng nhận $\overrightarrow{n} = (1, 0, -4)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $M(4, 4, 2)$ được viết dưới dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$. Thay các giá trị vào phương trình: \[ 1(x - 4) + 0(y - 4) - 4(z - 2) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ x - 4 - 4z + 8 = 0 \] \[ x - 4z + 4 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \[ x - 4z + 4 = 0 \]