Giúp tôi giải bài này với $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$,5. Cho bốn điểm $A(0;1;3),~B(-1;0;5),~C(2;0;2)$ và $D(1;1;-2).$,a) Tìm toạ độ của hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.,b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của hai đường thẳng AB và AC.,c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).,d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.,e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).,6. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:,a) (P) đi qua điểm $M(-3;1;4)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(2;-4;1);$,b) (P) đi qua điểm $N(2;-1;5)$ và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u_1=(1;-3;-2)$ và,$\overrightarrow u_2=(-3;4;1);$

Question

Timi · Accepted Answer

Đáp án chi tiết:

Câu 5:
a) Ta có:
$$
\overrightarrow{AB} = (-1 - 0, 0 - 1, 5 - 3) = (-1, -1, 2)
$$
$$
\overrightarrow{AC} = (2 - 0, 0 - 1, 2 - 3) = (2, -1, -1)
$$

Vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là:
$$
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-1 & -1 & 2 \
2 & -1 & -1
\end{vmatrix} = 
\mathbf{i}((-1)(-1) - (2)(-1)) - \mathbf{j}((-1)(-1) - (2)(2)) + \mathbf{k}((-1)(-1) - (-1)(2))
$$
$$
= \mathbf{i}(1 + 2) - \mathbf{j}(1 - 4) + \mathbf{k}(1 + 2) = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (3, 3, 3)
$$

b) Phương trình tham số của đường thẳng AB:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 0 - t \
y = 1 - t \
z = 3 + 2t
\end{array}
\right.
$$

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:
$$
\frac{x - 0}{-1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 3}{2}
$$

Phương trình tham số của đường thẳng AC:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = 0 + 2s \
y = 1 - s \
z = 3 - s
\end{array}
\right.
$$

Phương trình chính tắc của đường thẳng AC:
$$
\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 3}{-1}
$$

c) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC):
$$
3(x - 0) + 3(y - 1) + 3(z - 3) = 0 \Rightarrow x + y + z - 4 = 0
$$

d) Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng, ta kiểm tra xem điểm D có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không:
$$
1 + 1 - 2 - 4 = -4 \neq 0
$$
Vậy điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC), do đó bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC):
$$
d = \frac{|1 + 1 - 2 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}
$$

Câu 6:
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(-3;1;4)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2, -4, 1)$:
$$
2(x + 3) - 4(y - 1) + 1(z - 4) = 0 \Rightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0
$$

b) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
$$
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{u_2} = 
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -3 & -2 \
-3 & 4 & 1
\end{vmatrix} = 
\mathbf{i}((-3)(1) - (-2)(4)) - \mathbf{j}((1)(1) - (-2)(-3)) + \mathbf{k}((1)(4) - (-3)(-3))
$$
$$
= \mathbf{i}(-3 + 8) - \mathbf{j}(1 - 6) + \mathbf{k}(4 - 9) = 5\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 5\mathbf{k} = (5, 5, -5)
$$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm $N(2, -1, 5)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (5, 5, -5)$:
$$
5(x - 2) + 5(y + 1) - 5(z - 5) = 0 \Rightarrow x + y - z + 4 = 0
$$