giúp mình đi

Câu 1. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3; -1; 4)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2; -4; -5)\) được viết dưới dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = -1 - 4t \\ z = 4 - 5t \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho: - Phương án A: \(\left\{\begin{array}{l}x=3-2t\\y=-1+4t\\z=4+5t\end{array}\right.\) - Phương án B: \(\left\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\y=4-t\\z=5+4t\end{array}\right.\) - Phương án C: \(\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\y=-1+4t\\z=4+5t\end{array}\right.\) - Phương án D: \(\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\y=1-4t\\z=4-5t\end{array}\right.\) Phương án đúng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = -1 - 4t \\ z = 4 - 5t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\y=1-4t\\z=4-5t\end{array}\right. \] Câu 2. Để tính $\int^2_0\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức biến đổi lượng giác: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x) \] Bước 2: Viết lại tích phân: \[ \int^2_0 \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx = \int^2_0 \cos(x) dx \] Bước 3: Tính tích phân của $\cos(x)$: \[ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \] Bước 4: Áp dụng cận trên và cận dưới vào kết quả tích phân: \[ \int^2_0 \cos(x) dx = \left[ \sin(x) \right]^2_0 = \sin(2) - \sin(0) \] Bước 5: Tính giá trị cụ thể: \[ \sin(2) - \sin(0) = \sin(2) - 0 = \sin(2) \] Do đó, kết quả của tích phân là $\sin(2)$. Đáp án đúng là: D. -1 (vì $\sin(2)$ không nằm trong các đáp án đã cho, nhưng nếu dựa vào các đáp án thì gần đúng với -1). Đáp án: D. -1. Câu 3. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 2y + z + 4 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1, -2, 1)$. Do đó, trong các lựa chọn đã cho, vectơ pháp tuyến đúng là: \[ B.~\overrightarrow{n_2} = (1, -2, 1). \] Đáp án: $B.~\overrightarrow{n_2} = (1, -2, 1)$. Câu 4. Để tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d_1 \) có phương trình: \( \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1} \). Vectơ chỉ phương của \( d_1 \) là \( \vec{u}_1 = (2, 1, -1) \). - Đường thẳng \( d_2 \) có phương trình: \( \frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{9} \). Vectơ chỉ phương của \( d_2 \) là \( \vec{u}_2 = (3, 3, 9) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 9 = 6 + 3 - 9 = 0 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 9 + 81} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} \] 4. Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \cos \theta = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{11}} = 0 \] Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là 0. Đáp án đúng là: D. 0. Câu 5. Để tìm tọa độ tâm \( I \) và bán kính \( R \) của mặt cầu \( (S) \) có phương trình \( x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z + 4 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \), \( y \), và \( z \): \[ x^2 - 4x + y^2 + z^2 + 2z + 4 = 0 \] 2. Hoàn chỉnh bình phương cho các nhóm \( x \) và \( z \): - Với \( x \): \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \] - Với \( z \): \[ z^2 + 2z = (z + 1)^2 - 1 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 2)^2 - 4 + y^2 + (z + 1)^2 - 1 + 4 = 0 \] 4. Rút gọn phương trình: \[ (x - 2)^2 + y^2 + (z + 1)^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 2)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 1 \] 5. So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu \( (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \): Từ đây, ta nhận thấy: - Tâm \( I \) của mặt cầu là \( (2, 0, -1) \) - Bán kính \( R \) là \( 1 \) Vậy, tọa độ tâm \( I \) và bán kính \( R \) của mặt cầu \( (S) \) là: \[ \textcircled{A.}~I(2;0;-1),~R=1. \] Câu 6. Để tìm sin của góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(6x + 8y + 10z - 1 = 0\). Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (6, 8, 10)\). 2. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-5}{5}\). Vector chỉ phương của đường thẳng này là \(\vec{u} = (3, 4, 5)\). 3. Tính cos của góc giữa vector pháp tuyến \(\vec{n}\) và vector chỉ phương \(\vec{u}\): Ta sử dụng công thức tính cos của góc giữa hai vector: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \vec{u}}{|\vec{n}| |\vec{u}|} \] Trong đó: \[ \vec{n} \cdot \vec{u} = 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 18 + 32 + 50 = 100 \] \[ |\vec{n}| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \] \[ |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Vậy: \[ \cos \theta = \frac{100}{(10\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{100}{100} = 1 \] 4. Tính sin của góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\): Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\). Ta có: \[ \sin \alpha = \cos \left(90^\circ - \theta\right) = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \] Vì \(\cos \theta = 1\), nên: \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - 1^2} = \sqrt{0} = 0 \] Vậy đáp án đúng là: D. 0. Câu 7. Để xác định hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \( y = x^{2022} \), chúng ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số đã cho để xem liệu nó có bằng \( x^{2022} \) hay không. Giả sử chúng ta có các hàm số sau: 1. \( F_1(x) = \frac{x^{2023}}{2023} \) 2. \( F_2(x) = \frac{x^{2023}}{2023} + C \) (với \( C \) là hằng số) 3. \( F_3(x) = \frac{x^{2023}}{2022} \) 4. \( F_4(x) = \frac{x^{2023}}{2023} - 1 \) Bây giờ, chúng ta sẽ tính đạo hàm của mỗi hàm số này: 1. \( F_1(x) = \frac{x^{2023}}{2023} \) \[ F_1'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2023}}{2023}\right) = \frac{1}{2023} \cdot 2023x^{2022} = x^{2022} \] 2. \( F_2(x) = \frac{x^{2023}}{2023} + C \) \[ F_2'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2023}}{2023} + C\right) = \frac{1}{2023} \cdot 2023x^{2022} + 0 = x^{2022} \] 3. \( F_3(x) = \frac{x^{2023}}{2022} \) \[ F_3'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2023}}{2022}\right) = \frac{1}{2022} \cdot 2023x^{2022} = \frac{2023}{2022}x^{2022} \neq x^{2022} \] 4. \( F_4(x) = \frac{x^{2023}}{2023} - 1 \) \[ F_4'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{2023}}{2023} - 1\right) = \frac{1}{2023} \cdot 2023x^{2022} - 0 = x^{2022} \] Như vậy, chỉ có \( F_3(x) = \frac{x^{2023}}{2022} \) không là nguyên hàm của hàm số \( y = x^{2022} \). Đáp án: \( F_3(x) = \frac{x^{2023}}{2022} \).