Cho đa thức Q(x)=-3x^3+2x^2-5x^4+x+3x^3+4x+2+5x^4-5x. Chứng tỏ đa thức Q(x) không có nghiệm

Question

Thiên Hạo (天昊) · Accepted Answer

{"userId":5333208,"userName":"Xuân An Vũ"}

Ta có:

$Q(x) = -3x^3 + 2x^2 - 5x^4 + x + 3x^3 + 4x + 2 + 5x^4 - 5x$

$Q(x) = (-3x^3 + 3x^3) + (-5x^4 + 5x^4) + 2x^2 + (x + 4x - 5x) + 2$

$Q(x) = 0 + 0 + 2x^2 + 0 + 2$

$Q(x) = 2x^2 + 2$

Ta có: $x^2 \geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow 2x^2 \geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow 2x^2 + 2 \geq 2 > 0$ với mọi $x$

Vậy $Q(x) > 0$ với mọi $x$

Do đó, đa thức $Q(x)$ không có nghiệm.

Timi · Answer

Để chứng tỏ đa thức $ Q(x) = -3x^3 + 2x^2 - 5x^4 + x + 3x^3 + 4x + 2 + 5x^4 - 5x $ không có nghiệm, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn đa thức $ Q(x) $:
$$ Q(x) = (-3x^3 + 3x^3) + (2x^2) + (-5x^4 + 5x^4) + (x + 4x - 5x) + 2 $$
$$ Q(x) = 0 + 2x^2 + 0 + 0 + 2 $$
$$ Q(x) = 2x^2 + 2 $$

Bước 2: Xét tính chất của đa thức $ Q(x) = 2x^2 + 2 $:
- Ta thấy $ 2x^2 \geq 0 $ với mọi giá trị của $ x $ (vì bình phương của một số luôn không âm).
- Do đó, $ 2x^2 + 2 \geq 2 $ với mọi giá trị của $ x $.

Bước 3: Kết luận:
- Vì $ 2x^2 + 2 \geq 2 $ với mọi giá trị của $ x $, nên $ Q(x) $ không thể bằng 0 với bất kỳ giá trị nào của $ x $.
- Do đó, đa thức $ Q(x) $ không có nghiệm.

Vậy, đa thức $ Q(x) = 2x^2 + 2 $ không có nghiệm.