Trong không gian, cho tứ diện ABCD có AB 1(BCD), tam giác BCD vuông cân tại B và AB = 2 BC = 3 (đơn vị độ dài). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD)

Để tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACD), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm thể tích của tứ diện ABCD: - Ta biết rằng tam giác BCD vuông cân tại B, do đó diện tích tam giác BCD là: \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \times BC \times BD = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} \] - Thể tích của tứ diện ABCD là: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times AB = \frac{1}{3} \times \frac{9}{2} \times 2 = 3 \] 2. Tính diện tích tam giác ACD: - Ta cần tìm độ dài các cạnh AC, AD và CD. - Độ dài AC: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] - Độ dài AD: \[ AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] - Độ dài CD: \[ CD = \sqrt{BC^2 + BD^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] - Diện tích tam giác ACD bằng công thức Heron: \[ p = \frac{AC + AD + CD}{2} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 3\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{13} + 3\sqrt{2}}{2} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{p(p - AC)(p - AD)(p - CD)} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{13} + 3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{13} + 3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{13}\right)\left(\frac{2\sqrt{13} + 3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{13}\right)\left(\frac{2\sqrt{13} + 3\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{2}\right)} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{13} + 3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{13}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{13}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{13} - 3\sqrt{2}}{2}\right)} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{\left(\frac{(2\sqrt{13} + 3\sqrt{2})(2\sqrt{13} - 3\sqrt{2})}{4}\right)\left(\frac{(3\sqrt{2} - \sqrt{13})^2}{4}\right)} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{\left(\frac{52 - 18}{4}\right)\left(\frac{18 - 6\sqrt{26} + 13}{4}\right)} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{\left(\frac{34}{4}\right)\left(\frac{31 - 6\sqrt{26}}{4}\right)} \] \[ S_{ACD} = \sqrt{\frac{34 \times (31 - 6\sqrt{26})}{16}} \] \[ S_{ACD} = \frac{\sqrt{34 \times (31 - 6\sqrt{26})}}{4} \] 3. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD): - Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) là: \[ d = \frac{3 \times 2}{S_{ACD}} = \frac{6}{S_{ACD}} \] Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) là $\frac{6}{S_{ACD}}$.