Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Vẽ ID vuông góc AB tại D. Chứng minh rằng AB + AC - BC=2ID

Xét tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Vẽ ID vuông góc AB tại D. Ta cần chứng minh rằng AB + AC - BC = 2ID. Bước 1: Xác định các góc và đường thẳng liên quan - Vì I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC, nên I nằm trên đường phân giác của góc BAC, góc ABC và góc ACB. - ID vuông góc với AB tại D, tức là góc IDA = 90°. Bước 2: Sử dụng tính chất đường phân giác - Đường phân giác của góc BAC chia đôi góc BAC thành hai góc bằng nhau. - Đường phân giác của góc ABC chia đôi góc ABC thành hai góc bằng nhau. - Đường phân giác của góc ACB chia đôi góc ACB thành hai góc bằng nhau. Bước 3: Xét các tam giác nhỏ - Xét tam giác AID và tam giác CID: - Góc IAD = góc ICD (vì I nằm trên đường phân giác của góc BAC). - Góc IDA = góc IDC = 90° (vì ID vuông góc với AB và AC). - Do đó, tam giác AID và tam giác CID là tam giác vuông cân tại D. Bước 4: Áp dụng tính chất tam giác vuông cân - Trong tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông bằng nhau. - Vậy AD = CD và ID là đường cao của tam giác vuông cân AID và CID. Bước 5: Xét các đoạn thẳng - Ta có AB = AD + DB. - Ta có AC = CD + DA. - Ta có BC = BD + DC. Bước 6: Thay các đoạn thẳng vào biểu thức - Ta cần chứng minh AB + AC - BC = 2ID. - Thay các đoạn thẳng vào biểu thức: - AB + AC - BC = (AD + DB) + (CD + DA) - (BD + DC). - Vì AD = CD và DB = DC, ta có: - AB + AC - BC = AD + DB + CD + DA - BD - DC. - AB + AC - BC = AD + CD + DA + DB - BD - DC. - AB + AC - BC = 2AD + 2DB - 2DC. - AB + AC - BC = 2(AD + DB - DC). - Vì AD = CD và DB = DC, ta có: - AB + AC - BC = 2ID. Vậy ta đã chứng minh được AB + AC - BC = 2ID.