giupooppopp câuu 7

Câu 7. Để viết phương trình đường thẳng AB trong không gian, ta cần tìm vector chỉ phương của đường thẳng đó. Vector chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}$. Tính $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, -1 - 1, 3 - 2) = (1, -2, 1) \] Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm $A(1, 1, 2)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (1, -2, 1)$ có dạng: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 2}{1} \] Vậy phương trình đường thẳng AB là: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 2}{1} \] Đáp án đúng là: \[ B.~\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1} \] Câu 8. Phương pháp giải: - Xác định bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho. Lời giải chi tiết: Phương trình mặt cầu đã cho là: \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 9 \] Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] trong đó tâm của mặt cầu là \( (a, b, c) \) và bán kính là \( R \). So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn, ta có: \[ a = 1, \quad b = -2, \quad c = 0, \quad R^2 = 9 \] Từ đó suy ra bán kính \( R \) của mặt cầu là: \[ R = \sqrt{9} = 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~R = 3 \] Câu 9. Để tìm tâm của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và thêm bớt các hằng số để hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z - 2 = 0 \] Ta thêm bớt các hằng số để hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) - 1 - 4 - 9 - 2 = 0 \] Điều này dẫn đến: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 - 16 = 0 \] Hay: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16 \] 2. Nhận diện tâm và bán kính của mặt cầu: Phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh với phương trình chuẩn, ta thấy: \[ a = 1, \quad b = -2, \quad c = 3, \quad R^2 = 16 \Rightarrow R = 4 \] Do đó, tâm của mặt cầu là $I(1, -2, 3)$. Đáp án: B. $I(1, -2, 3)$ Câu 10. Để tìm số đo góc giữa hai đường thẳng \( d \) và \( d' \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d \) có phương trình: \[ d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-2} \] Vectơ chỉ phương của \( d \) là \( \vec{u} = (2, 1, -2) \). - Đường thẳng \( d' \) có phương trình: \[ d': \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 4 + 2t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d' \) là \( \vec{v} = (1, 2, 2) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0 \] 3. Tính độ dài của hai vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{0}{3 \cdot 3} = 0 \] 5. Xác định góc giữa hai đường thẳng: \[ \cos \theta = 0 \implies \theta = 90^\circ \] Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) là \( 90^\circ \). Đáp án đúng là: \[ B.~90^\circ \] Câu 11. Để tính $\int^2_{-1}(3-f(x))dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách riêng từng phần. Ta có: \[ \int^2_{-1}(3-f(x))dx = \int^2_{-1}3dx - \int^2_{-1}f(x)dx \] Tính $\int^2_{-1}3dx$: \[ \int^2_{-1}3dx = 3 \cdot \int^2_{-1}dx = 3 \cdot [x]^2_{-1} = 3 \cdot (2 - (-1)) = 3 \cdot 3 = 9 \] Biết rằng $\int^2_{-1}f(x)dx = 4$, ta thay vào: \[ \int^2_{-1}(3-f(x))dx = 9 - 4 = 5 \] Vậy đáp án đúng là: C. 5. Câu 12. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của biến cố độc lập. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố A không phụ thuộc vào việc biến cố B đã xảy ra hay chưa và ngược lại. Khi đó, xác suất của biến cố AB (tức là cả hai biến cố A và B cùng xảy ra) được tính bằng tích của xác suất của mỗi biến cố. Cụ thể, ta có: \[ P(AB) = P(A) \times P(B) \] Biết rằng: \[ P(A) = \frac{1}{2} \] \[ P(B) = \frac{1}{3} \] Thay vào công thức trên, ta được: \[ P(AB) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \] Vậy, đáp án đúng là: \[ B.~\frac{1}{6} \]