giúp mình với

Câu 4: Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan: - Gọi H là trung điểm của BC. - Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC. - Gọi D là hình chiếu của B' xuống mặt phẳng (ABC). Vì B' có hình chiếu xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm O của tam giác ABC, nên ta có B'D ⊥ (ABC). Do đó, B'D ⊥ BC. Ta cũng biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (A'B'C') và (BCC'B') bằng $60^0$. Điều này có nghĩa là góc giữa đường thẳng B'C' và mặt phẳng (BCC'B') cũng bằng $60^0$. Bây giờ, ta sẽ tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B'C. Ta gọi khoảng cách này là d. 1. Xác định khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B'C: - Vì B'C' // B'C, nên khoảng cách từ A đến B'C sẽ bằng khoảng cách từ A đến B'C'. - Ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. 2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B'C': - Ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách này. Gọi A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0.5, $\sqrt{3}$/2, 0), B'(0.5, $\sqrt{3}$/6, h), C'(0.5, $\sqrt{3}$/2, h), A'(0, 0, h). 3. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B'C': - Ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian. 4. Kết luận: - Khi $a=1$, khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C là $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Đáp số: $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Câu 5: Trước tiên, ta cần tìm chiều cao của lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi O là trung điểm của BC, ta có AO vuông góc với BC (do ABC là tam giác đều). Mặt khác, vì ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều nên AO cũng vuông góc với B'C'. Do đó, AO vuông góc với mặt phẳng (BCC'B'), suy ra góc giữa AB' và mặt phẳng (BCC'B') chính là góc B'AO. Ta có: \[ \sin(30^\circ) = \frac{AO}{AB'} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{AO}{AB'} \] \[ AB' = 2 \cdot AO \] Biết rằng AO là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được: \[ AO = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = a\sqrt{3} \] Do đó: \[ AB' = 2 \cdot a\sqrt{3} = 2a\sqrt{3} \] Chiều cao của lăng trụ là OO', ta có: \[ OO' = \sqrt{(AB')^2 - (AO)^2} = \sqrt{(2a\sqrt{3})^2 - (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{12a^2 - 3a^2} = \sqrt{9a^2} = 3a \] Diện tích đáy của lăng trụ là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3} \] Thể tích của khối lăng trụ là: \[ V = S_{ABC} \cdot OO' = a^2\sqrt{3} \cdot 3a = 3a^3\sqrt{3} \] Khi \( a = \sqrt{6} \): \[ V = 3(\sqrt{6})^3\sqrt{3} = 3 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 18\sqrt{18} = 18 \cdot 3\sqrt{2} = 54\sqrt{2} \] Vậy thể tích của khối lăng trụ là \( 54\sqrt{2} \). Câu 6: Để tính xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu, ta sẽ tính xác suất cho từng trường hợp riêng lẻ và sau đó cộng lại. 1. Xác suất để cả hai viên bi đều là bi trắng: - Số viên bi trắng trong hộp I là 4. - Tổng số viên bi trong hộp I là 4 + 5 + 6 = 15. - Số viên bi trắng trong hộp II là 7. - Tổng số viên bi trong hộp II là 7 + 6 + 5 = 18. Xác suất để lấy ra một viên bi trắng từ hộp I là: \[ P(\text{bi trắng từ hộp I}) = \frac{4}{15} \] Xác suất để lấy ra một viên bi trắng từ hộp II là: \[ P(\text{bi trắng từ hộp II}) = \frac{7}{18} \] Xác suất để cả hai viên bi đều là bi trắng là: \[ P(\text{cả hai viên bi đều trắng}) = \frac{4}{15} \times \frac{7}{18} = \frac{28}{270} = \frac{14}{135} \] 2. Xác suất để cả hai viên bi đều là bi đỏ: - Số viên bi đỏ trong hộp I là 5. - Số viên bi đỏ trong hộp II là 6. Xác suất để lấy ra một viên bi đỏ từ hộp I là: \[ P(\text{bi đỏ từ hộp I}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] Xác suất để lấy ra một viên bi đỏ từ hộp II là: \[ P(\text{bi đỏ từ hộp II}) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \] Xác suất để cả hai viên bi đều là bi đỏ là: \[ P(\text{cả hai viên bi đều đỏ}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \] 3. Xác suất để cả hai viên bi đều là bi xanh: - Số viên bi xanh trong hộp I là 6. - Số viên bi xanh trong hộp II là 5. Xác suất để lấy ra một viên bi xanh từ hộp I là: \[ P(\text{bi xanh từ hộp I}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \] Xác suất để lấy ra một viên bi xanh từ hộp II là: \[ P(\text{bi xanh từ hộp II}) = \frac{5}{18} \] Xác suất để cả hai viên bi đều là bi xanh là: \[ P(\text{cả hai viên bi đều xanh}) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{18} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9} \] 4. Tổng xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu: \[ P(\text{cùng màu}) = P(\text{cả hai viên bi đều trắng}) + P(\text{cả hai viên bi đều đỏ}) + P(\text{cả hai viên bi đều xanh}) \] \[ P(\text{cùng màu}) = \frac{14}{135} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \] \[ P(\text{cùng màu}) = \frac{14}{135} + \frac{15}{135} + \frac{15}{135} = \frac{44}{135} \] Phân số $\frac{44}{135}$ đã tối giản, vậy $a = 44$ và $b = 135$. Do đó: \[ T = a + b = 44 + 135 = 179 \] Đáp số: $T = 179$