Giải gúp em vs ng đệp

Bài 1: a) $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{x-1} \geq \frac{1}{9}$ Điều kiện: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ Ta có: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{x-1} \geq (\frac{1}{\sqrt{3}})^4$ $\Rightarrow x - 1 \leq 4$ $\Rightarrow x \leq 5$ Vậy nghiệm của bất phương trình là $1 < x \leq 5$ b) $2^{x^2-3x-2} = 0,25 \cdot 16^{x-3}$ Ta có: $0,25 = 2^{-2}$ và $16 = 2^4$ Do đó: $2^{x^2-3x-2} = 2^{-2} \cdot 2^{4(x-3)}$ $\Rightarrow 2^{x^2-3x-2} = 2^{-2 + 4(x-3)}$ $\Rightarrow x^2 - 3x - 2 = -2 + 4x - 12$ $\Rightarrow x^2 - 7x + 12 = 0$ Phương trình này có hai nghiệm: $x = 3$ hoặc $x = 4$ c) $5^{2x-1} = 20$ Lấy logarit cơ số 5 của cả hai vế: $\log_5(5^{2x-1}) = \log_5(20)$ $\Rightarrow 2x - 1 = \log_5(20)$ $\Rightarrow 2x = \log_5(20) + 1$ $\Rightarrow x = \frac{\log_5(20) + 1}{2}$ d) $\log(x^2 - 2x) = \log(2x - 3)$ Điều kiện: $x^2 - 2x > 0$ và $2x - 3 > 0$ $\Rightarrow x(x - 2) > 0$ và $x > \frac{3}{2}$ $\Rightarrow x < 0$ hoặc $x > 2$ và $x > \frac{3}{2}$ $\Rightarrow x > 2$ Bỏ điều kiện vào phương trình ban đầu ta có: $x^2 - 2x = 2x - 3$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$ Phương trình này có hai nghiệm: $x = 1$ hoặc $x = 3$ Tuy nhiên, chỉ có $x = 3$ thỏa mãn điều kiện $x > 2$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$ e) $\log(x + 1) = 2$ Điều kiện: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$ Bỏ điều kiện vào phương trình ban đầu ta có: $x + 1 = 10^2$ $\Rightarrow x + 1 = 100$ $\Rightarrow x = 99$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = 99$ f) $\log_4(2x^2 + 3x) \geq \frac{1}{2}$ Điều kiện: $2x^2 + 3x > 0$ $\Rightarrow x(2x + 3) > 0$ $\Rightarrow x < -\frac{3}{2}$ hoặc $x > 0$ Bỏ điều kiện vào bất phương trình ban đầu ta có: $\log_4(2x^2 + 3x) \geq \log_4(2)$ $\Rightarrow 2x^2 + 3x \geq 2$ $\Rightarrow 2x^2 + 3x - 2 \geq 0$ Phương trình này có hai nghiệm: $x = -2$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là $x \leq -2$ hoặc $x \geq \frac{1}{2}$ Tuy nhiên, chỉ có $x > 0$ thỏa mãn điều kiện $x > 0$ Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq \frac{1}{2}$ Bài 2: 1) Tính đạo hàm các hàm số sau: a) $y=\frac{x^2-2x+3}{4x-1}$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: \[ y' = \frac{(x^2 - 2x + 3)'(4x - 1) - (x^2 - 2x + 3)(4x - 1)'}{(4x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 2)(4x - 1) - (x^2 - 2x + 3)(4)}{(4x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{8x^2 - 2x - 8x + 2 - 4x^2 + 8x - 12}{(4x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{4x^2 - 2x - 10}{(4x - 1)^2} \] b) $y=\frac{(x-2)(3x+1)}{2x-3}$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: \[ y' = \frac{[(x-2)(3x+1)]'(2x-3) - (x-2)(3x+1)(2x-3)'}{(2x-3)^2} \] \[ y' = \frac{[(3x^2 - 5x - 2)'(2x-3) - (x-2)(3x+1)(2)]}{(2x-3)^2} \] \[ y' = \frac{(6x - 5)(2x-3) - 2(x-2)(3x+1)}{(2x-3)^2} \] \[ y' = \frac{12x^2 - 18x - 10x + 15 - 6x^2 + 10x + 4}{(2x-3)^2} \] \[ y' = \frac{6x^2 - 18x + 19}{(2x-3)^2} \] c) $y=\frac{(x+2)^2}{3x+4}$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: \[ y' = \frac{[(x+2)^2]'(3x+4) - (x+2)^2(3x+4)'}{(3x+4)^2} \] \[ y' = \frac{[2(x+2)(3x+4) - 3(x+2)^2]}{(3x+4)^2} \] \[ y' = \frac{6x^2 + 16x + 8 - 3x^2 - 12x - 12}{(3x+4)^2} \] \[ y' = \frac{3x^2 + 4x - 4}{(3x+4)^2} \] d) $y=4x^2-3x+1$ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và lũy thừa, ta có: \[ y' = 8x - 3 \] e) $y=12x^3+3x^2-1$ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và lũy thừa, ta có: \[ y' = 36x^2 + 6x \] f) $y=\frac{1}{4}x^4+3x^3+\frac{1}{2}x^2+x-2$ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và lũy thừa, ta có: \[ y' = x^3 + 9x^2 + x + 1 \] 2) a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-1}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x=2$. Đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(3x-1)'(x-1) - (3x-1)(x-1)'}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{3(x-1) - (3x-1)}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{3x - 3 - 3x + 1}{(x-1)^2} \] \[ y' = \frac{-2}{(x-1)^2} \] Tại điểm $x=2$, ta có: \[ y' = \frac{-2}{(2-1)^2} = -2 \] Giá trị của hàm số tại điểm $x=2$: \[ y = \frac{3(2)-1}{2-1} = 5 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2, 5)$: \[ y - 5 = -2(x - 2) \] \[ y = -2x + 9 \] b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y=x^2+x-2$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$. Đạo hàm của hàm số: \[ y' = 2x + 1 \] Tại điểm $x=-1$, ta có: \[ y' = 2(-1) + 1 = -1 \] Giá trị của hàm số tại điểm $x=-1$: \[ y = (-1)^2 + (-1) - 2 = -2 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1, -2)$: \[ y + 2 = -1(x + 1) \] \[ y = -x - 3 \] Bài 3: a) Chứng minh rằng $BC \perp (SAB)$ và $CD \perp (SAD)$ - Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC \perp AB$ và $CD \perp AD$. - Mặt khác, $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp BC$ và $SA \perp CD$. - Kết hợp hai điều trên ta có: - $BC \perp AB$ và $BC \perp SA$, do đó $BC \perp (SAB)$. - $CD \perp AD$ và $CD \perp SA$, do đó $CD \perp (SAD)$. b) Tính góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ - Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Ta có $SO \perp (ABCD)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $O$ nằm trong $(ABCD)$. - Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ chính là góc giữa $SC$ và $OC$, tức là $\angle SCO$. - Ta tính độ dài các đoạn thẳng liên quan: - $AC = BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$. - $OC = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. - $SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2 + \frac{5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{8a^2 + 5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}$. - Ta có $\sin \angle SCO = \frac{SO}{SC} = \frac{a\sqrt{2}}{\frac{a\sqrt{13}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{26}}{13}$. - Vậy góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\angle SCO = \arcsin \left( \frac{2\sqrt{26}}{13} \right)$. Đáp số: a) $BC \perp (SAB)$ và $CD \perp (SAD)$. b) Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\arcsin \left( \frac{2\sqrt{26}}{13} \right)$.