Giải tất cả các bài chính xác nhất, chi tiết và ghi rõ câu trả lời ra riêng giúp mình ạ.

Câu 7., Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Giải: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một đa thức bậc hai, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Vậy ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 2. Xét tính chất của hàm số: Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có hệ số \( a = -1 < 0 \). Do đó, đồ thị của hàm số này là một parabol mở xuống, và hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. 3. Tìm tọa độ đỉnh của parabol: Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). Ở đây, \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \). Tọa độ đỉnh: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( f(x) \): \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] 4. Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 8., Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết đạo hàm của hàm số sin(x). Đạo hàm của hàm số sin(x) là cos(x). Do đó, mệnh đề đúng là: \[ C. (\sin x)' = \cos x. \] Lập luận từng bước: 1. Biết rằng đạo hàm của hàm số \( y = \cos x \) là \( y' = -\sin x \). 2. Biết rằng đạo hàm của hàm số \( y = \sin x \) là \( y' = \cos x \). Vậy, mệnh đề đúng là: \[ C. (\sin x)' = \cos x. \] Câu 9. Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra đạo hàm của mỗi biểu thức theo từng bước. A. $(\sqrt{x})' = x$ - Ta biết rằng đạo hàm của $\sqrt{x}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Do đó, mệnh đề này sai. B. $(x^{2023})' = 2023x^{2022}$ - Ta biết rằng đạo hàm của $x^n$ là $nx^{n-1}$. Áp dụng vào đây, đạo hàm của $x^{2023}$ là $2023x^{2022}$. Do đó, mệnh đề này đúng. C. $(x^5)' = 5x^5$ - Ta biết rằng đạo hàm của $x^n$ là $nx^{n-1}$. Áp dụng vào đây, đạo hàm của $x^5$ là $5x^4$. Do đó, mệnh đề này sai. D. $(3)' = 1$ - Ta biết rằng đạo hàm của hằng số là 0. Do đó, đạo hàm của 3 là 0. Mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là B. $(x^{2023})' = 2023x^{2022}$. Câu 1. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = x \cos x \), ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số. Công thức đó là: \[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Trong đó: - \( u = x \) - \( v = \cos x \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x) = 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( v \): \[ v' = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \] Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (x \cos x)' = u' \cdot v + u \cdot v' \] \[ y' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) \] \[ y' = \cos x - x \sin x \] Vậy đạo hàm của \( y = x \cos x \) là: \[ y' = \cos x - x \sin x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\cos x - x \sin x \] Câu 2. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sin x - \cos x \), ta áp dụng công thức đạo hàm của sin và cos. Công thức đạo hàm: - Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). - Đạo hàm của \( \cos x \) là \( -\sin x \). Áp dụng công thức này vào hàm số đã cho: \[ y' = (\sin x)' - (\cos x)' \] \[ y' = \cos x - (-\sin x) \] \[ y' = \cos x + \sin x \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~y^\prime=\cos x+\sin x. \] Câu 3. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = 2^x \), ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm mũ cơ bản \( y = a^x \): \[ y' = a^x \cdot \ln(a) \] Trong đó, \( a \) là cơ số của hàm mũ. Áp dụng vào bài toán cụ thể: - Cơ số \( a = 2 \). Do đó, đạo hàm của \( y = 2^x \) là: \[ y' = 2^x \cdot \ln(2) \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~y^\prime=\frac{2^x}{\ln2} \] Lập luận từng bước: 1. Xác định cơ số \( a = 2 \). 2. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ \( y = a^x \): \[ y' = a^x \cdot \ln(a) \] 3. Thay \( a = 2 \) vào công thức: \[ y' = 2^x \cdot \ln(2) \] Đáp án: \( D.~y^\prime=\frac{2^x}{\ln2} \). Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \). a) \( f'(x) = x^2 + 4 \) Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \left( \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 4 = x^2 + 4 \] Vậy mệnh đề này là đúng. b) Tiếp tuyến tại \( x_0 = -1 \) của đồ thị (C) có hệ số góc là 4. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( x_0 = -1 \) là giá trị của đạo hàm \( f'(x) \) tại điểm đó: \[ f'(-1) = (-1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại \( x_0 = -1 \) là 5, không phải 4. Mệnh đề này là sai. c) \( f(-1) = \frac{14}{3} \) Tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 + 4(-1) + 1 = \frac{1}{3}(-1) - 4 + 1 = -\frac{1}{3} - 4 + 1 = -\frac{1}{3} - 3 = -\frac{10}{3} \] Vậy \( f(-1) = -\frac{10}{3} \), không phải \( \frac{14}{3} \). Mệnh đề này là sai. d) Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng \( y = 3x + \frac{1}{3} \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \( f(x) \) tại điểm \( x_0 \) có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \] Chúng ta đã biết \( f'(x) = x^2 + 4 \). Để xác định phương trình tiếp tuyến, chúng ta cần biết \( x_0 \). Tuy nhiên, trong mệnh đề này không cung cấp \( x_0 \). Do đó, chúng ta không thể xác định phương trình tiếp tuyến cụ thể từ thông tin đã cho. Mệnh đề này là sai vì không đủ thông tin để xác định phương trình tiếp tuyến. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 5. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) = -x^3 - 3x^2 - x + 4 \) tại điểm có hoành độ bằng 3, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 3x^2 - x + 4) \] \[ f'(x) = -3x^2 - 6x - 1 \] Bước 2: Thay \( x = 3 \) vào đạo hàm \( f'(x) \) để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. \[ f'(3) = -3(3)^2 - 6(3) - 1 \] \[ f'(3) = -3 \cdot 9 - 6 \cdot 3 - 1 \] \[ f'(3) = -27 - 18 - 1 \] \[ f'(3) = -46 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) = -x^3 - 3x^2 - x + 4 \) tại điểm có hoành độ bằng 3 là \(-46\). Câu 6. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f'(x) = -x^2 + 4 \] Bây giờ, ta giải bất phương trình $f'(x) \geq 0$: \[ -x^2 + 4 \geq 0 \] \[ x^2 - 4 \leq 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) \leq 0 \] Ta vẽ bảng xét dấu để tìm các khoảng thỏa mãn bất phương trình: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -2) & [-2, 2] & (2, \infty) \\ \hline x - 2 & - & 0 & + \\ x + 2 & - & 0 & + \\ (x - 2)(x + 2) & + & 0 & - \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy rằng $(x - 2)(x + 2) \leq 0$ khi $-2 \leq x \leq 2$. Do đó, các nghiệm nguyên của bất phương trình $f'(x) \geq 0$ là: \[ x = -2, -1, 0, 1, 2 \] Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình $f'(x) \geq 0$ là 5 nghiệm. Đáp số: 5 nghiệm nguyên. Câu 7. Để tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): - Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 3t^2 - 2025) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ v(t) = 6t^2 - 6t \] 2. Tìm gia tốc tức thời \( a(t) \): - Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 6t) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ a(t) = 12t - 6 \] 3. Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 1 \): - Thay \( t = 1 \) vào phương trình gia tốc tức thời \( a(t) \): \[ a(1) = 12 \cdot 1 - 6 = 12 - 6 = 6 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 1 \) là \( 6 \text{ m/s}^2 \).