Giải hộ mình câu này với các bạnGiải hộ mình câu này với các bạn

Câu 7., Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Giải: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một đa thức, do đó nó xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Vậy ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \). Vì \( a < 0 \), hàm số này có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a = -1 \) và \( b = 4 \): \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Giá trị lớn nhất của hàm số tại \( x = 2 \) là: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] 3. Kết luận: Giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết đạo hàm của hàm số sin(x). Đạo hàm của hàm số sin(x) là cos(x). Do đó, mệnh đề đúng là: \[ C.~(\sin x)^\prime=\cos x. \] Lập luận từng bước: 1. Biết rằng đạo hàm của hàm số \( y = \cos x \) là \( y' = -\sin x \). 2. Biết rằng đạo hàm của hàm số \( y = \sin x \) là \( y' = \cos x \). Vậy, mệnh đề đúng là: \[ C.~(\sin x)^\prime=\cos x. \] Câu 2. Để xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $(\sqrt{x})' = x$ - Ta biết rằng đạo hàm của $\sqrt{x}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Do đó, mệnh đề này sai. B. $(x^{2023})' = 2023x^{2022}$ - Ta biết rằng đạo hàm của $x^n$ là $nx^{n-1}$. Áp dụng vào đây, đạo hàm của $x^{2023}$ là $2023x^{2022}$. Do đó, mệnh đề này đúng. C. $(x^5)' = 5x^5$ - Ta biết rằng đạo hàm của $x^n$ là $nx^{n-1}$. Áp dụng vào đây, đạo hàm của $x^5$ là $5x^4$. Do đó, mệnh đề này sai. D. $(3)' = 1$ - Ta biết rằng đạo hàm của hằng số là 0. Do đó, đạo hàm của 3 là 0. Mệnh đề này sai. Như vậy, mệnh đề đúng là: B. $(x^{2023})' = 2023x^{2022}$ Đáp án: B. $(x^{2023})' = 2023x^{2022}$ Câu 3. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = x \sin x \), ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số. Công thức đạo hàm của tích hai hàm số \( u(x) \) và \( v(x) \) là: \[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Trong bài này, ta có: - \( u(x) = x \) - \( v(x) = \sin x \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u(x) \): \[ u'(x) = 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( v(x) \): \[ v'(x) = \cos x \] Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (x \sin x)' = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)' \] \[ y' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x \] \[ y' = \sin x + x \cos x \] Vậy đạo hàm của \( y = x \sin x \) là: \[ y' = \sin x + x \cos x \] Đáp án đúng là: \( B.~\sin x + x \cos x \). Câu 4. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sin x - \cos x \), ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hiệu của hai hàm số cũng như đạo hàm của sin và cos. Cụ thể: - Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). - Đạo hàm của \( -\cos x \) là \( -(-\sin x) = \sin x \). Do đó, đạo hàm của \( y = \sin x - \cos x \) là: \[ y' = (\sin x)' - (\cos x)' = \cos x + \sin x \] Vậy khẳng định đúng là: \[ D.~y^\prime=\cos x+\sin x. \] Câu 5. Để tính đạo hàm của hàm số $y = 8^x$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức đạo hàm của hàm số $y = a^x$ là: \[ y' = a^x \cdot \ln(a) \] Trong đó: - $a$ là cơ số của hàm mũ. - $\ln(a)$ là lôgarit tự nhiên của cơ số $a$. Áp dụng công thức này vào hàm số $y = 8^x$, ta có: \[ y' = 8^x \cdot \ln(8) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~y^\prime=8^x\ln8. \] Câu 6. Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt tính toán và so sánh với các giá trị đã cho. a) Kiểm tra \( f(-1) = 7 \): \[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 \] Thay \( x = -1 \) vào: \[ f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^2 - 2(-1) + 1 = \frac{1}{2}(1) + 2 + 1 = \frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \neq 7 \] Do đó, mệnh đề a) là sai. b) Kiểm tra \( f'(x) = x^2 - 2 \): Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2 - 2x + 1\right) = \frac{1}{2} \cdot 2x - 2 = x - 2 \] Do đó, mệnh đề b) là sai vì \( f'(x) = x - 2 \). c) Kiểm tra hệ số góc của tiếp tuyến tại \( x_0 = -1 \): Hệ số góc của tiếp tuyến tại \( x_0 = -1 \) là \( f'(-1) \): \[ f'(x) = x - 2 \] Thay \( x = -1 \) vào: \[ f'(-1) = -1 - 2 = -3 \] Do đó, mệnh đề c) là sai vì hệ số góc của tiếp tuyến tại \( x_0 = -1 \) là -3. d) Kiểm tra phương trình tiếp tuyến của (C) tại \( x_0 = -1 \): Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (x_0, y_0) \) trên đồ thị của \( f(x) \) có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \] Ta đã biết: \[ f'(-1) = -3 \] \[ f(-1) = \frac{7}{2} \] Thay vào phương trình tiếp tuyến: \[ y = -3(x + 1) + \frac{7}{2} \] \[ y = -3x - 3 + \frac{7}{2} \] \[ y = -3x - \frac{6}{2} + \frac{7}{2} \] \[ y = -3x + \frac{1}{2} \] Do đó, mệnh đề d) là sai vì phương trình tiếp tuyến tại \( x_0 = -1 \) là \( y = -3x + \frac{1}{2} \). Kết luận: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 7. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 4 \) tại điểm có hoành độ bằng 3, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + x + 4) \] \[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 1 \] Bước 2: Thay \( x = 3 \) vào đạo hàm \( f'(x) \) để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 3. \[ f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) + 1 \] \[ f'(3) = 3 \cdot 9 - 18 + 1 \] \[ f'(3) = 27 - 18 + 1 \] \[ f'(3) = 10 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 4 \) tại điểm có hoành độ bằng 3 là 10. Đáp số: 10 Câu 8. Đầu tiên, ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \). Tính đạo hàm: \[ f'(x) = -x^2 + 4 \] Bây giờ, ta cần giải bất phương trình \( f'(x) \geq 0 \): \[ -x^2 + 4 \geq 0 \] \[ 4 - x^2 \geq 0 \] \[ x^2 \leq 4 \] Giải bất phương trình này: \[ -2 \leq x \leq 2 \] Như vậy, các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn bất phương trình \( f'(x) \geq 0 \) là: \[ x = -2, -1, 0, 1, 2 \] Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình \( f'(x) \geq 0 \) là 5 nghiệm. Đáp số: 5 nghiệm nguyên Câu 9: Để tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = -1 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( s(t) \) để xác định vận tốc tức thời \( v(t) \). Bước 1: Xác định hàm số \( s(t) \): \[ s(t) = -t^3 + t^2 - 2t \] Bước 2: Tìm đạo hàm của \( s(t) \) để xác định vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = s'(t) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3) + \frac{d}{dt}(t^2) - \frac{d}{dt}(2t) \] \[ s'(t) = -3t^2 + 2t - 2 \] Bước 3: Thay \( t = -1 \) vào biểu thức của \( v(t) \): \[ v(-1) = -3(-1)^2 + 2(-1) - 2 \] \[ v(-1) = -3(1) + 2(-1) - 2 \] \[ v(-1) = -3 - 2 - 2 \] \[ v(-1) = -7 \] Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = -1 \) là \( -7 \) m/s.