cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy. Tính sin[S, CD, O]

Question

Timi · Accepted Answer

Để tính $\sin$ của góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(SCD)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm chiều cao của tam giác đều SCD:
   - Tam giác SCD là tam giác đều vì SA = SB = SC = SD và đáy ABCD là hình vuông.
   - Chiều cao của tam giác đều SCD là $h_{SCD} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot SC$.

2. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD):
   - Ta gọi khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là $d(O, (SCD))$.
   - Vì O là tâm của đáy ABCD, nên O nằm trên đường thẳng SO và SO vuông góc với đáy ABCD.
   - Ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian:
     $$
     d(O, (SCD)) = \frac{|SO| \cdot \text{Diện tích } \triangle SCD}{\text{Diện tích } \triangle OCD}
     $$
   - Diện tích tam giác SCD là:
     $$
     S_{SCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot SC^2
     $$
   - Diện tích tam giác OCD là:
     $$
     S_{OCD} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}
     $$

3. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD):
   - Ta có:
     $$
     d(O, (SCD)) = \frac{2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot SC^2}{\frac{a^2}{4}}
     $$
   - Vì $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$, nên:
     $$
     d(O, (SCD)) = \frac{2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (a\sqrt{5})^2}{\frac{a^2}{4}} = \frac{2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5a^2}{\frac{a^2}{4}} = 2a \cdot \sqrt{3} \cdot 5 = 10a\sqrt{3}
     $$

4. Tính $\sin$ của góc giữa SO và mặt phẳng (SCD):
   - Gọi góc giữa SO và mặt phẳng (SCD) là $\theta$, ta có:
     $$
     \sin \theta = \frac{d(O, (SCD))}{SO} = \frac{10a\sqrt{3}}{2a} = 5\sqrt{3}
     $$

Vậy $\sin$ của góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SCD) là $5\sqrt{3}$.