giải ra đáp án

Câu 1. Để tính giá trị của biểu thức \( Q = \log_a(b^2c^3) \), ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit. Trước tiên, ta áp dụng tính chất lôgarit của một tích: \[ \log_a(b^2c^3) = \log_a(b^2) + \log_a(c^3) \] Tiếp theo, ta sử dụng tính chất lôgarit của một lũy thừa: \[ \log_a(b^2) = 2 \log_a(b) \] \[ \log_a(c^3) = 3 \log_a(c) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \log_a(b) = 2 \] \[ \log_a(c) = 3 \] Do đó: \[ \log_a(b^2) = 2 \cdot 2 = 4 \] \[ \log_a(c^3) = 3 \cdot 3 = 9 \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ Q = \log_a(b^2) + \log_a(c^3) = 4 + 9 = 13 \] Vậy giá trị của biểu thức \( Q \) là: \[ Q = 13 \] Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số $y=\log_2(-2x^2+5x-2)$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức ở trong dấu logarit phải lớn hơn 0 vì logarit chỉ xác định khi đối số lớn hơn 0. Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức trong dấu logarit: \[ -2x^2 + 5x - 2 > 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình $-2x^2 + 5x - 2 > 0$. Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình bậc hai liên quan: \[ -2x^2 + 5x - 2 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$, ta có: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = -2$, $b = 5$, $c = -2$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(-2)(-2)}}{2(-2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{-4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{-4} = \frac{-5 \pm 3}{-4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 + 3}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-5 - 3}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2 \] Bước 3: Xác định khoảng giữa các nghiệm để kiểm tra dấu của biểu thức $-2x^2 + 5x - 2$: - Khi $x < \frac{1}{2}$, chọn $x = 0$: $-2(0)^2 + 5(0) - 2 = -2 < 0$ - Khi $\frac{1}{2} < x < 2$, chọn $x = 1$: $-2(1)^2 + 5(1) - 2 = -2 + 5 - 2 = 1 > 0$ - Khi $x > 2$, chọn $x = 3$: $-2(3)^2 + 5(3) - 2 = -18 + 15 - 2 = -5 < 0$ Vậy biểu thức $-2x^2 + 5x - 2 > 0$ khi $\frac{1}{2} < x < 2$. Bước 4: Kết luận tập xác định của hàm số: \[ D = \left( \frac{1}{2}, 2 \right) \] Đáp số: Tập xác định của hàm số là $D = \left( \frac{1}{2}, 2 \right)$. Câu 3. Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC). Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC). Do SA vuông góc với (ABC), nên SH cũng vuông góc với (ABC). Vậy góc giữa SB và (ABC) chính là góc $\widehat{SBH}$. Ta tính độ dài SH: - Vì ABC là tam giác đều cạnh a, nên AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. - Do SA vuông góc với (ABC), nên trong tam giác vuông SAH, ta có: \[ SH^2 = SA^2 + AH^2 \] \[ SH^2 = SA^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \] Ta biết rằng SB = $a\sqrt{5}$, do đó trong tam giác vuông SAB, ta có: \[ SB^2 = SA^2 + AB^2 \] \[ (a\sqrt{5})^2 = SA^2 + a^2 \] \[ 5a^2 = SA^2 + a^2 \] \[ SA^2 = 4a^2 \] \[ SA = 2a \] Bây giờ, ta tính SH: \[ SH^2 = (2a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \] \[ SH^2 = 4a^2 + \frac{3a^2}{4} \] \[ SH^2 = \frac{16a^2 + 3a^2}{4} \] \[ SH^2 = \frac{19a^2}{4} \] \[ SH = \frac{a\sqrt{19}}{2} \] Bây giờ, ta tính góc $\widehat{SBH}$: \[ \sin \widehat{SBH} = \frac{SH}{SB} \] \[ \sin \widehat{SBH} = \frac{\frac{a\sqrt{19}}{2}}{a\sqrt{5}} \] \[ \sin \widehat{SBH} = \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{5}} \] \[ \sin \widehat{SBH} = \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{95}}{10} \] Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc có sin bằng $\frac{\sqrt{95}}{10}$. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức $S = A \cdot e^{nr}$ để tìm số năm n mà dân số Việt Nam tăng từ 80902400 người lên 93713000 người với tỉ lệ tăng dân số hàng năm là 1,47%. Bước 1: Xác định các giá trị đã biết: - Dân số năm 2005 (A) = 80902400 người - Tỉ lệ tăng dân số hàng năm (r) = 1,47% = 0,0147 - Dân số mục tiêu (S) = 93713000 người Bước 2: Thay các giá trị vào công thức $S = A \cdot e^{nr}$: \[ 93713000 = 80902400 \cdot e^{n \cdot 0,0147} \] Bước 3: Chia cả hai vế cho 80902400 để đơn giản hóa: \[ \frac{93713000}{80902400} = e^{n \cdot 0,0147} \] \[ 1,1583 = e^{n \cdot 0,0147} \] Bước 4: Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế để giải phương trình mũ: \[ \ln(1,1583) = \ln(e^{n \cdot 0,0147}) \] \[ \ln(1,1583) = n \cdot 0,0147 \] Bước 5: Tính $\ln(1,1583)$: \[ \ln(1,1583) \approx 0,147 \] Bước 6: Giải phương trình để tìm n: \[ 0,147 = n \cdot 0,0147 \] \[ n = \frac{0,147}{0,0147} \] \[ n \approx 10 \] Bước 7: Kết luận: Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi, thì tối thiểu đến năm 2015 (2005 + 10 năm), dân số Việt Nam sẽ đạt khoảng 93713000 người. Đáp số: Năm 2015 Câu 1. Điều kiện xác định: $-x + 2 > 0 \Rightarrow x < 2$. Ta có: \[ \log_{\frac{1}{4}}(-x + 2) = -2 \] Đổi phương trình về dạng mũ: \[ -x + 2 = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \] Tính giá trị bên phải: \[ \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16 \] Do đó: \[ -x + 2 = 16 \] Giải phương trình này: \[ -x = 16 - 2 \] \[ -x = 14 \] \[ x = -14 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ -(-14) + 2 = 14 + 2 = 16 > 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -14 \). Đáp số: \( x = -14 \). Câu 2. Để giải bất phương trình $\log_3(x-3) > \log_3(2x+7)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ x - 3 > 0 \quad \text{và} \quad 2x + 7 > 0 \] Từ đó suy ra: \[ x > 3 \quad \text{và} \quad x > -\frac{7}{2} \] Vì $x > 3$ bao gồm cả trường hợp $x > -\frac{7}{2}$, nên điều kiện xác định là: \[ x > 3 \] Bước 2: So sánh các biểu thức logarit Do cơ số của hai biểu thức logarit đều là 3 (cơ số lớn hơn 1), nên ta có thể so sánh trực tiếp các biểu thức ở trong dấu logarit: \[ x - 3 > 2x + 7 \] Bước 3: Giải bất phương trình Rearrange the terms to isolate \( x \): \[ x - 3 > 2x + 7 \] \[ x - 2x > 7 + 3 \] \[ -x > 10 \] \[ x < -10 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Ta đã có điều kiện xác định là \( x > 3 \). Tuy nhiên, kết quả từ bất phương trình \( x < -10 \) không thỏa mãn điều kiện này. Do đó, không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn cả hai điều kiện. Kết luận: Bất phương trình $\log_3(x-3) > \log_3(2x+7)$ không có nghiệm. Câu 3. Trước tiên, ta xác định hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD với cạnh bằng a. Gọi O là tâm của đáy ABCD, ta có SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Vì góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $60^0$, nên góc SOA sẽ là $60^0$. Bây giờ, ta tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD), tức là chiều dài đoạn thẳng SO. 1. Xác định tâm O của đáy ABCD: - Vì ABCD là hình vuông, tâm O nằm ở giao điểm của hai đường chéo AC và BD. - Độ dài OA (từ tâm O đến một đỉnh của đáy) là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông). 2. Xác định góc SOA: - Góc SOA là góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy ABCD, bằng $60^0$. 3. Áp dụng công thức trong tam giác SOA: - Trong tam giác SOA, ta có góc SOA = $60^0$, OA = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. - Ta sử dụng công thức sin trong tam giác SOA: \[ \sin(60^0) = \frac{SO}{SA} \] - Biết rằng $\sin(60^0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta có: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SO}{SA} \] 4. Xác định SA: - Vì SA là cạnh bên của hình chóp đều, ta có thể sử dụng tính chất của hình chóp đều để xác định SA. Tuy nhiên, ta đã biết SO và OA, nên ta có thể tính SA trực tiếp từ tam giác SOA: \[ SA = \frac{SO}{\sin(60^0)} = \frac{SO}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2SO}{\sqrt{3}} \] 5. Xác định SO: - Ta biết rằng OA = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và góc SOA = $60^0$. Áp dụng công thức cos trong tam giác SOA: \[ \cos(60^0) = \frac{OA}{SA} \] - Biết rằng $\cos(60^0) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{1}{2} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{SA} \] - Giải phương trình này để tìm SA: \[ SA = \frac{a\sqrt{2}}{2} \times 2 = a\sqrt{2} \] 6. Cuối cùng, ta tìm SO: - Ta đã biết SA = $a\sqrt{2}$ và $\sin(60^0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, nên: \[ SO = SA \times \sin(60^0) = a\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \] Vậy khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD) là $\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Đáp số: $\frac{a\sqrt{6}}{2}$