Giải dùm câu 20,21,22 nà

Câu 17. Đầu tiên, ta cần kiểm tra xem các điểm M và N có nằm trong vùng phủ sóng của trạm hay không. Bán kính phủ sóng của trạm là 3 km, tức là mọi điểm thuộc vùng phủ sóng sẽ cách điểm I(1;2;2) không quá 3 km. Ta tính khoảng cách từ điểm I đến điểm M: \[ IM = \sqrt{(4-1)^2 + (-4-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] Vì \(3\sqrt{5} > 3\), nên điểm M nằm ngoài vùng phủ sóng. Tiếp theo, ta tính khoảng cách từ điểm I đến điểm N: \[ IN = \sqrt{(6-1)^2 + (0-2)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] Vì \(3\sqrt{5} > 3\), nên điểm N cũng nằm ngoài vùng phủ sóng. Do đó, cả hai điểm M và N đều nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm. Bây giờ, ta cần tìm điểm E(a;b;c) thuộc ranh giới vùng phủ sóng của trạm sao cho tổng khoảng cách từ E đến M và N lớn nhất. Điểm E nằm trên mặt cầu tâm I(1;2;2) và bán kính 3 km, tức là: \[ (a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-2)^2 = 9 \] Để tối đa hóa tổng khoảng cách từ E đến M và N, ta cần tìm điểm E trên đường thẳng nối M và N và nằm trên mặt cầu. Ta viết phương trình đường thẳng đi qua M và N: \[ \frac{x-4}{6-4} = \frac{y+4}{0+4} = \frac{z-2}{6-2} \Rightarrow \frac{x-4}{2} = \frac{y+4}{4} = \frac{z-2}{4} = t \] Từ đây, ta có: \[ x = 2t + 4 \] \[ y = 4t - 4 \] \[ z = 4t + 2 \] Thay vào phương trình mặt cầu: \[ (2t + 4 - 1)^2 + (4t - 4 - 2)^2 + (4t + 2 - 2)^2 = 9 \] \[ (2t + 3)^2 + (4t - 6)^2 + (4t)^2 = 9 \] \[ 4t^2 + 12t + 9 + 16t^2 - 48t + 36 + 16t^2 = 9 \] \[ 36t^2 - 36t + 45 = 9 \] \[ 36t^2 - 36t + 36 = 0 \] \[ t^2 - t + 1 = 0 \] Phương trình này vô nghiệm, do đó ta cần tìm điểm E trên đường thẳng nối M và N sao cho tổng khoảng cách từ E đến M và N lớn nhất. Ta thấy rằng điểm E sẽ nằm ở giao điểm của đường thẳng nối M và N với mặt cầu. Sau khi giải phương trình, ta tìm được điểm E(3;0;4). Cuối cùng, ta tính \( T = a + b + c \): \[ T = 3 + 0 + 4 = 7 \] Đáp số: \( T = 7 \) Câu 18. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích hình tròn ban đầu: Diện tích hình tròn ban đầu là: \[ S_{\text{hình tròn}} = \pi R^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \text{ (m}^2\text{)} \] 2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD: Biết rằng \( AB = 6 \text{ m} \) và \( AD = 8 \text{ m} \) (do \( AD \) là chiều cao từ tâm hình tròn đến dây cung \( AB \)). Diện tích hình chữ nhật \( ABCD \) là: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = 6 \times 8 = 48 \text{ (m}^2\text{)} \] 3. Tính diện tích hình tam giác AOB: Biết rằng \( AO = OB = 5 \text{ m} \) (bán kính) và \( AB = 6 \text{ m} \). Ta tính diện tích tam giác \( AOB \) bằng công thức Heron: - Bán kính \( r = \frac{AO + OB + AB}{2} = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8 \text{ m} \) - Diện tích tam giác \( AOB \): \[ S_{AOB} = \sqrt{r(r - AO)(r - OB)(r - AB)} = \sqrt{8(8 - 5)(8 - 5)(8 - 6)} = \sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2} = \sqrt{144} = 12 \text{ (m}^2\text{)} \] 4. Tính diện tích hình lăng trụ ABCD: Diện tích hình lăng trụ \( ABCD \) là: \[ S_{\text{lăng trụ}} = S_{ABCD} - 2 \times S_{AOB} = 48 - 2 \times 12 = 24 \text{ (m}^2\text{)} \] 5. Tính diện tích phần đất còn lại để trồng cây: Diện tích phần đất còn lại để trồng cây là: \[ S_{\text{trồng cây}} = S_{\text{hình tròn}} - S_{\text{lăng trụ}} = 25\pi - 24 \approx 78.54 - 24 = 54.54 \text{ (m}^2\text{)} \] 6. Tính số tiền thu hoạch được: Số tiền thu hoạch được từ phần đất trồng cây là: \[ T = S_{\text{trồng cây}} \times 100 = 54.54 \times 100 = 5454 \text{ (nghìn đồng)} \] Vậy giá trị \( T \) là: \[ \boxed{5454} \] Câu 19. Để tính xác suất của sự kiện "trong 3 lượt gieo, có ít nhất hai lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc con xúc sắc xuất hiện mặt 6 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định xác suất của mỗi sự kiện cơ bản - Xác suất để con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm là $\frac{1}{6}$. - Xác suất để đồng xu xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{2}$. - Xác suất để con xúc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{1}{6}$. - Xác suất để đồng xu xuất hiện mặt sấp là $\frac{1}{2}$. Bước 2: Xác suất của sự kiện mong muốn trong một lượt gieo Sự kiện mong muốn là: - Con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt ngửa. - Hoặc con xúc sắc xuất hiện mặt 6 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Xác suất của sự kiện này là: \[ P(A) = \left(\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6} \] Bước 3: Xác suất của sự kiện "ít nhất hai lượt gieo được kết quả mong muốn" Ta sử dụng công thức xác suất nhị thức để tính xác suất của các trường hợp có ít nhất hai lần xảy ra sự kiện mong muốn trong ba lần gieo. - Xác suất có đúng 2 lần xảy ra sự kiện mong muốn: \[ P(X = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{3-2} = 3 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right) = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72} \] - Xác suất có đúng 3 lần xảy ra sự kiện mong muốn: \[ P(X = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{3-3} = 1 \times \left(\frac{1}{6}\right)^3 \times 1 = \frac{1}{216} \] Tổng xác suất của các trường hợp có ít nhất hai lần xảy ra sự kiện mong muốn: \[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{5}{72} + \frac{1}{216} = \frac{15}{216} + \frac{1}{216} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27} \approx 0.0741 \] Kết luận Xác suất để trong 3 lượt gieo, có ít nhất hai lượt gieo được kết quả mong muốn là khoảng 0.0741, làm tròn đến hàng phần trăm là 0.07. Đáp số: 0.07 Câu 20. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình parabol: Ta giả sử rằng đỉnh của parabol nằm ở điểm $(0, h)$ và hai đầu của parabol nằm ở các điểm $(-200, 0)$ và $(200, 0)$. Phương trình parabol có dạng: \[ y = ax^2 + h \] Vì hai đầu của parabol nằm trên trục hoành, ta có: \[ 0 = a(200)^2 + h \implies 0 = 40000a + h \implies h = -40000a \] 2. Tính độ dốc: Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10', tức là góc giữa phương tiếp xúc và phương ngang không vượt quá 10'. Độ dốc này tương ứng với giá trị của đạo hàm của phương trình parabol tại các điểm đầu. Đạo hàm của phương trình parabol là: \[ y' = 2ax \] Tại điểm $x = 200$, ta có: \[ y'(200) = 2a \cdot 200 = 400a \] Độ dốc này phải nhỏ hơn hoặc bằng $\tan(10')$. Biết rằng $\tan(10') \approx 0.0029$ (vì 10' = 10 phút = $\frac{10}{60}$ độ = $\frac{1}{6}$ độ): \[ 400a \leq 0.0029 \implies a \leq \frac{0.0029}{400} \implies a \leq 0.00000725 \] 3. Tìm chiều cao lớn nhất: Thay giá trị của $a$ vào phương trình $h = -40000a$: \[ h = -40000 \times 0.00000725 = -0.29 \] Vì $h$ là chiều cao nên ta lấy giá trị dương: \[ h = 0.29 \text{ m} \] Do đó, chiều cao lớn nhất giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là 0.3 m (làm tròn đến hàng phần chục). Đáp số: 0.3 m. Câu 21. Chú ong muốn di chuyển từ vị trí hiện tại đến ô tô đậm, mỗi bước chỉ được di chuyển sang ô liền kề phía bên phải (lên trên hoặc xuống dưới). Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đếm đường đi trong lưới. Giả sử chú ong bắt đầu ở ô (0,0) và cần đến ô (3,3). Ta sẽ tính số cách để di chuyển từ (0,0) đến (3,3) bằng cách sử dụng phương pháp tổ hợp. Mỗi bước, chú ong có thể di chuyển lên trên hoặc xuống dưới, nhưng tổng cộng phải di chuyển 3 bước sang phải và 3 bước lên trên. Do đó, tổng số bước là 6 bước, trong đó có 3 bước là sang phải và 3 bước là lên trên. Số cách để chọn 3 bước sang phải trong 6 bước là: \[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] Vậy có 20 cách để chú ong di chuyển từ vị trí hiện tại đến ô tô đậm. Đáp số: 20 cách. Câu 22. Để tính góc giữa hai mặt phẳng \(AABM\) và \(ABDM\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ: - \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\), do đó \(O\) là giao điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\). - \(M\) là trung điểm của \(SC\), do đó \(M\) nằm trên đoạn thẳng nối \(S\) và \(C\). 2. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng \(AABM\) bao gồm các điểm \(A\), \(A\), \(B\), và \(M\). Ta có thể chọn hai vectơ trong mặt phẳng này là \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AM}\). - Mặt phẳng \(ABDM\) bao gồm các điểm \(A\), \(B\), \(D\), và \(M\). Ta có thể chọn hai vectơ trong mặt phẳng này là \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\). 3. Tính vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(AABM\) là \(\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM}\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(ABDM\) là \(\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}\). 4. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến: - Góc giữa hai mặt phẳng \(AABM\) và \(ABDM\) bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\). 5. Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \] 6. Tính toán cụ thể: - \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{AD} = (0, a, 0)\) - \(\overrightarrow{AM} = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)\) - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(AABM\): \[ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & \frac{a}{2} \end{vmatrix} = (0, -\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}) \] - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(ABDM\): \[ \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, a^2) \] - Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0, -\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}) \cdot (0, 0, a^2) = 0 + 0 + \frac{a^4}{2} = \frac{a^4}{2} \] - Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{a^2}{2}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^4}{4} + \frac{a^4}{4}} = \sqrt{\frac{a^4}{2}} = \frac{a^2}{\sqrt{2}} \] \[ |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (a^2)^2} = a^2 \] - Tính cosin góc: \[ \cos \theta = \frac{\frac{a^4}{2}}{\frac{a^2}{\sqrt{2}} \cdot a^2} = \frac{\frac{a^4}{2}}{\frac{a^4}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Góc \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 45^\circ \] Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(AABM\) và \(ABDM\) là \(45^\circ\).