Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SB 1 (ABC) và SB = 4a. Hỏi góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng phần mười).

Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB). Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH vuông góc với AB vì SB vuông góc với (ABC). Bây giờ, ta sẽ xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB). Ta hạ đường cao CK từ C xuống (SAB) cắt SH tại K. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) chính là góc CKS. Ta tính chiều dài các đoạn thẳng liên quan: - Vì ABC là tam giác đều cạnh a, nên CH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. - SH = $\sqrt{SB^2 - BH^2} = \sqrt{(4a)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{16a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{63a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{63}}{2}$. Vì CK vuông góc với (SAB), nên CK cũng vuông góc với SH. Do đó, ta có: - $\frac{CK}{CH} = \frac{SK}{SH}$. Tính SK: - SK = $\frac{SH \cdot CK}{CH} = \frac{\frac{a\sqrt{63}}{2} \cdot CK}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{63} \cdot CK}{a\sqrt{3}} = \sqrt{21} \cdot CK$. Vì CK vuông góc với (SAB), nên CK cũng vuông góc với SH. Do đó, ta có: - $\frac{CK}{CH} = \frac{SK}{SH}$. Tính CK: - CK = $\frac{CH \cdot SK}{SH} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{21} \cdot CK}{\frac{a\sqrt{63}}{2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{21} \cdot CK}{a\sqrt{63}} = \frac{\sqrt{63} \cdot CK}{\sqrt{63}} = CK$. Do đó, ta có: - $\tan(\angle CKS) = \frac{CK}{SK} = \frac{CK}{\sqrt{21} \cdot CK} = \frac{1}{\sqrt{21}}$. Vậy góc CKS là: - $\angle CKS = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{21}}\right) \approx 13.9^\circ$. Đáp số: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là khoảng 13.9 độ.