cuuuuuuuuuuuuuuuuuu

Câu 11. Để tìm tọa độ tâm \( I \) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( ABCD \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AH \): - \( A(0;1;2) \) - \( H(4;-3;-2) \) Tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AH \) là: \[ M\left(\frac{0+4}{2}; \frac{1-3}{2}; \frac{2-2}{2}\right) = M(2; -1; 0) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng \( BCD \): - Mặt phẳng \( BCD \) có hình chiếu vuông góc từ \( A \) xuống là \( H \), do đó \( AH \) vuông góc với mặt phẳng \( BCD \). Vectơ \( \vec{AH} \) là: \[ \vec{AH} = (4-0, -3-1, -2-2) = (4, -4, -4) \] Vậy vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng \( BCD \) là \( \vec{n} = (4, -4, -4) \). 3. Phương trình đường thẳng đi qua \( M \) và vuông góc với mặt phẳng \( BCD \): - Đường thẳng này đi qua \( M(2; -1; 0) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (4, -4, -4) \). Phương trình tham số của đường thẳng này là: \[ \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -1 - 4t \\ z = -4t \end{cases} \] 4. Tìm tọa độ tâm \( I \) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( ABCD \): - Tâm \( I \) nằm trên đường thẳng đi qua \( M \) và vuông góc với mặt phẳng \( BCD \). Ta thấy rằng trong các đáp án đã cho, chỉ có điểm \( I(3; -2; -1) \) thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng trên. Thay \( t = \frac{1}{4} \) vào phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 2 + 4 \cdot \frac{1}{4} = 3 \\ y = -1 - 4 \cdot \frac{1}{4} = -2 \\ z = -4 \cdot \frac{1}{4} = -1 \end{cases} \] Vậy tọa độ tâm \( I \) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( ABCD \) là \( I(3; -2; -1) \). Đáp án đúng là: \( A.~I(3; -2; -1) \). Câu 12. Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ có dạng $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=R^2$. Để mặt cầu này cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho $AB=2\sqrt3$, ta cần xác định bán kính R của mặt cầu. Trên trục Ox, tọa độ của các điểm A và B sẽ có dạng $(x_A, 0, 0)$ và $(x_B, 0, 0)$ tương ứng. Vì mặt cầu cắt trục Ox tại hai điểm này, nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình mặt cầu: \[ (x-1)^2 + (0+2)^2 + (0-3)^2 = R^2 \] \[ (x-1)^2 + 4 + 9 = R^2 \] \[ (x-1)^2 + 13 = R^2 \] Do đó, phương trình này trở thành: \[ (x-1)^2 = R^2 - 13 \] Giải phương trình này, ta có: \[ x - 1 = \pm \sqrt{R^2 - 13} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{R^2 - 13} \] Tọa độ của hai điểm A và B trên trục Ox là: \[ A(1 + \sqrt{R^2 - 13}, 0, 0) \quad \text{và} \quad B(1 - \sqrt{R^2 - 13}, 0, 0) \] Khoảng cách giữa hai điểm A và B là: \[ AB = |(1 + \sqrt{R^2 - 13}) - (1 - \sqrt{R^2 - 13})| = 2\sqrt{R^2 - 13} \] Theo đề bài, $AB = 2\sqrt{3}$, do đó: \[ 2\sqrt{R^2 - 13} = 2\sqrt{3} \] \[ \sqrt{R^2 - 13} = \sqrt{3} \] \[ R^2 - 13 = 3 \] \[ R^2 = 16 \] Vậy bán kính R của mặt cầu là 4. Phương trình mặt cầu là: \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16 \] Đáp án đúng là: \[ A.~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16. \] Câu 13. Để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC: - Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là điểm cách đều các đỉnh O, A, B, C. 2. Xác định tọa độ tâm I: - Gọi tọa độ tâm I là $(x, y, z)$. - Ta có các điều kiện: \[ IO = IA = IB = IC \] - Ta viết các phương trình từ các điều kiện trên: \[ x^2 + y^2 + z^2 = (x+1)^2 + y^2 + z^2 \] \[ x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z-2)^2 \] \[ x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y+3)^2 + z^2 \] 3. Giải hệ phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \[ x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + z^2 \implies 0 = 2x + 1 \implies x = -\frac{1}{2} \] - Từ phương trình thứ hai: \[ x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 4z + 4 \implies 0 = -4z + 4 \implies z = 1 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + 6y + 9 + z^2 \implies 0 = 6y + 9 \implies y = -\frac{3}{2} \] Vậy tọa độ tâm I là $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, 1\right)$. 4. Tính bán kính R của mặt cầu: - Bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến bất kỳ đỉnh nào của tứ diện OABC. Ta chọn đỉnh O để tính: \[ R = IO = \sqrt{\left(-\frac{1}{2} - 0\right)^2 + \left(-\frac{3}{2} - 0\right)^2 + (1 - 0)^2} \] \[ R = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1^2} \] \[ R = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} \] \[ R = \sqrt{\frac{1 + 9 + 4}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \] Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là $\frac{\sqrt{14}}{2}$. Câu 14. Để tính đường kính của mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình mặt phẳng (ABC): - Vector $\overrightarrow{AB} = (1-1, -3-2, 1+4) = (0, -5, 5)$ - Vector $\overrightarrow{AC} = (2-1, 2-2, 3+4) = (1, 0, 7)$ Mặt phẳng (ABC) có phương trình dạng $ax + by + cz = d$. Ta tìm các hệ số $a$, $b$, $c$ từ tích vô hướng của hai vector trên: \[ \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -5 & 5 \\ 1 & 0 & 7 \end{vmatrix} = i(-5 \cdot 7 - 5 \cdot 0) - j(0 \cdot 7 - 5 \cdot 1) + k(0 \cdot 0 - (-5) \cdot 1) = i(-35) - j(-5) + k(5) = -35i + 5j + 5k \] Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \[ -35x + 5y + 5z = d \] Thay tọa độ điểm A vào để tìm $d$: \[ -35 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-4) = -35 + 10 - 20 = -45 \] Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \[ -35x + 5y + 5z = -45 \quad \text{hay} \quad 7x - y - z = 9 \] 2. Tìm tâm I của mặt cầu (S): Tâm I nằm trên mặt phẳng (Oxy), tức là có tọa độ $(a, b, 0)$. Mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C nên tâm I phải cách đều ba điểm này. Ta viết phương trình tâm I: \[ IA = IB = IC \] - $IA^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2 + 16$ - $IB^2 = (a-1)^2 + (b+3)^2 + 1$ - $IC^2 = (a-2)^2 + (b-2)^2 + 9$ Ta có: \[ (a-1)^2 + (b-2)^2 + 16 = (a-1)^2 + (b+3)^2 + 1 \] \[ (b-2)^2 + 16 = (b+3)^2 + 1 \] \[ b^2 - 4b + 4 + 16 = b^2 + 6b + 9 + 1 \] \[ -4b + 20 = 6b + 10 \] \[ 10b = 10 \quad \Rightarrow \quad b = 1 \] Thay $b = 1$ vào phương trình tâm I: \[ (a-1)^2 + (1-2)^2 + 16 = (a-2)^2 + (1-2)^2 + 9 \] \[ (a-1)^2 + 1 + 16 = (a-2)^2 + 1 + 9 \] \[ (a-1)^2 + 17 = (a-2)^2 + 10 \] \[ a^2 - 2a + 1 + 17 = a^2 - 4a + 4 + 10 \] \[ -2a + 18 = -4a + 14 \] \[ 2a = -4 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \] Vậy tâm I của mặt cầu là $I(-2, 1, 0)$. 3. Tính bán kính R của mặt cầu: Bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến bất kỳ điểm nào trên mặt cầu, ta chọn điểm A: \[ R = IA = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-2)^2 + 0^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] 4. Tính đường kính của mặt cầu: Đường kính của mặt cầu là: \[ D = 2R = 2\sqrt{10} \] Đáp số: Đường kính của mặt cầu là $2\sqrt{10}$. Câu 15. Để mặt cầu $(S)$ có chu vi đường tròn lớn bằng $8\pi$, ta cần bán kính của mặt cầu bằng 4. Bước 1: Viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn. \[ x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2az + 10a = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các biến \(x\), \(y\), và \(z\). \[ (x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + (z^2 - 2az) + 10a = 0 \] \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + (z - a)^2 - a^2 + 10a = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - a)^2 - 4 - 1 - a^2 + 10a = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - a)^2 = a^2 - 10a + 5 \] Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2\), ta nhận thấy rằng bán kính \(R\) của mặt cầu là: \[ R^2 = a^2 - 10a + 5 \] Bước 4: Để mặt cầu có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi\), bán kính \(R\) phải bằng 4: \[ R = 4 \] \[ R^2 = 16 \] Do đó: \[ a^2 - 10a + 5 = 16 \] Bước 5: Giải phương trình bậc hai: \[ a^2 - 10a + 5 - 16 = 0 \] \[ a^2 - 10a - 11 = 0 \] Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ a = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 44}}{2} \] \[ a = \frac{10 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ a = \frac{10 \pm 12}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ a = \frac{10 + 12}{2} = 11 \] \[ a = \frac{10 - 12}{2} = -1 \] Vậy tập hợp các giá trị thực của \(a\) là: \[ \boxed{-1 \text{ hoặc } 11} \] Câu 16. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S): Mặt cầu (S) có phương trình: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 22 = 0 \] Ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + (z^2 - 2z) = 22 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + (z - 1)^2 - 1 = 22 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 25 \] Vậy tâm của mặt cầu là \(I(1, 1, 1)\) và bán kính \(R = 5\). 2. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: \[ 3x - 2y + 6z + 14 = 0 \] Công thức tính khoảng cách từ điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Thay \(I(1, 1, 1)\) vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 14|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2}} = \frac{|3 - 2 + 6 + 14|}{\sqrt{9 + 4 + 36}} = \frac{|21|}{\sqrt{49}} = \frac{21}{7} = 3 \] Vậy khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là 3. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 17. Để tìm bán kính \( r \) của đường tròn giao tuyến của mặt cầu \((S)\) và mặt phẳng \((P)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng: - Tâm của mặt cầu \((S)\) là \( O(0, 0, 0) \). - Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \( x + 2y - 2z + 1 = 0 \). Khoảng cách \( d \) từ điểm \( O(0, 0, 0) \) đến mặt phẳng \((P)\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, \( (a, b, c) = (1, 2, -2) \) và \( d = 1 \). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{1}{3} \] 2. Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến: Bán kính \( R \) của mặt cầu là 1 (vì phương trình mặt cầu là \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)). Bán kính \( r \) của đường tròn giao tuyến được tính bằng công thức: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} \] Thay \( R = 1 \) và \( d = \frac{1}{3} \): \[ r = \sqrt{1^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Vậy, bán kính \( r \) của đường tròn giao tuyến là \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \). Đáp án đúng là: \( B.~r=\frac{2\sqrt{2}}{3} \). Câu 18. Để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S)$ với mặt phẳng $(Oxy)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$: Mặt cầu $(S)$ có phương trình: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = 0 \] Ta viết lại phương trình này dưới dạng tổng bình phương: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + (z^2 - 6z) = 0 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 14 \] Vậy tâm của mặt cầu là $I(1, 2, 3)$ và bán kính là $\sqrt{14}$. 2. Xác định giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng $(Oxy)$: Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$. Thay $z = 0$ vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (0 - 3)^2 = 14 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 9 = 14 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 \] 3. Xác định bán kính của đường tròn giao tuyến: Phương trình $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$ là phương trình của một đường tròn tâm $(1, 2)$ và bán kính $\sqrt{5}$. Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S)$ với mặt phẳng $(Oxy)$ là $\sqrt{5}$. Đáp án đúng là: $B.~r=\sqrt{5}$. Câu 19. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S): Mặt cầu (S) có phương trình: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 \] Ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 + 2z) = 3 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 1)^2 - 1 = 3 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] Vậy tâm của mặt cầu là \( I(1, -2, -1) \) và bán kính \( R = 3 \). 2. Xác định phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) chứa trục Ox, do đó nó có dạng \( y = mz \). Chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm phương trình đúng. 3. Kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: \( y + 3z = 0 \) \[ y = -3z \] Thay vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 1)^2 + (-3z + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] \[ (x - 1)^2 + (9z^2 - 12z + 4) + (z^2 + 2z + 1) = 9 \] \[ (x - 1)^2 + 10z^2 - 10z + 5 = 9 \] \[ (x - 1)^2 + 10z^2 - 10z - 4 = 0 \] Đây không phải là phương trình của một đường tròn bán kính 3. - Đáp án B: \( x + y - 2z = 0 \) \[ y = 2z - x \] Thay vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 1)^2 + (2z - x + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] \[ (x - 1)^2 + (4z^2 - 4xz + x^2 + 4z - 4x + 4) + (z^2 + 2z + 1) = 9 \] \[ (x - 1)^2 + 5z^2 - 4xz + x^2 + 6z - 4x + 5 = 9 \] \[ 2x^2 - 4xz + 5z^2 - 6x + 6z + 5 = 9 \] Đây không phải là phương trình của một đường tròn bán kính 3. - Đáp án C: \( y - z = 0 \) \[ y = z \] Thay vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 1)^2 + (z + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] \[ (x - 1)^2 + (z^2 + 4z + 4) + (z^2 + 2z + 1) = 9 \] \[ (x - 1)^2 + 2z^2 + 6z + 5 = 9 \] \[ (x - 1)^2 + 2z^2 + 6z - 4 = 0 \] Đây không phải là phương trình của một đường tròn bán kính 3. - Đáp án D: \( y - 2z = 0 \) \[ y = 2z \] Thay vào phương trình mặt cầu: \[ (x - 1)^2 + (2z + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] \[ (x - 1)^2 + (4z^2 + 8z + 4) + (z^2 + 2z + 1) = 9 \] \[ (x - 1)^2 + 5z^2 + 10z + 5 = 9 \] \[ (x - 1)^2 + 5z^2 + 10z - 4 = 0 \] Đây không phải là phương trình của một đường tròn bán kính 3. 4. Kết luận: Sau khi kiểm tra từng đáp án, chúng ta thấy rằng chỉ có đáp án \( C \) thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ \boxed{(Q):~y - z = 0} \] Câu 20. Để tìm tâm \( I(a; b; c) \) của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu \((S)\) và mặt phẳng \((P)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\): Mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 45\). Tâm của mặt cầu là \(O(1; 2; -1)\) và bán kính \(R = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). 2. Tìm phương trình đường thẳng đi qua tâm \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(x + y - z - 13 = 0\). Vector pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (1, 1, -1)\). Đường thẳng đi qua tâm \(O(1; 2; -1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) sẽ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = -1 - t \end{cases} \] 3. Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng \((P)\): Thay \(x = 1 + t\), \(y = 2 + t\), \(z = -1 - t\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\): \[ (1 + t) + (2 + t) - (-1 - t) - 13 = 0 \] \[ 1 + t + 2 + t + 1 + t - 13 = 0 \] \[ 3t - 9 = 0 \] \[ t = 3 \] Thay \(t = 3\) vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ \begin{cases} x = 1 + 3 = 4 \\ y = 2 + 3 = 5 \\ z = -1 - 3 = -4 \end{cases} \] Vậy giao điểm là \(I(4; 5; -4)\). 4. Tính giá trị của \(a + b + c\): Ta có \(a = 4\), \(b = 5\), \(c = -4\). Do đó, \(a + b + c = 4 + 5 - 4 = 5\). Vậy giá trị của \(a + b + c\) là \(\boxed{5}\).