Giải hộ em với mn

Câu 16. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về xác suất và tỉ lệ phần trăm. Bước 1: Xác định các biến và tỉ lệ đã cho: - Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi: 10%. - Tỉ lệ học sinh thức dậy sớm để học bài: 30%. - Tỉ lệ học sinh thức dậy sớm và đạt điểm giỏi: 20%. Bước 2: Xác định xác suất của các sự kiện: - Xác suất học sinh đạt điểm giỏi: \( P(G) = 0.10 \). - Xác suất học sinh thức dậy sớm: \( P(S) = 0.30 \). - Xác suất học sinh thức dậy sớm và đạt điểm giỏi: \( P(S \cap G) = 0.20 \). Bước 3: Tính xác suất học sinh đạt điểm giỏi khi thức dậy sớm: \[ P(G|S) = \frac{P(S \cap G)}{P(S)} = \frac{0.20}{0.30} = \frac{2}{3} \approx 0.67 \] Bước 4: So sánh xác suất này với xác suất ban đầu: - Xác suất ban đầu học sinh đạt điểm giỏi là 0.10. - Xác suất học sinh đạt điểm giỏi khi thức dậy sớm là 0.67. Bước 5: Tính tỉ lệ tăng: \[ \text{Tỉ lệ tăng} = \frac{P(G|S)}{P(G)} = \frac{0.67}{0.10} = 6.7 \] Vậy, việc thức dậy sớm để học bài sẽ làm tăng kết quả đạt điểm giỏi lên khoảng 6.7 lần. Đáp số: 6.7 lần. Câu 17. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm A, B, C. 2. Xác định phương trình của các đường thẳng AH, BH, CH. 3. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C dựa vào điều kiện trực tâm H. 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. 5. Tính tổng m + n + p. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm A, B, C. - Điểm A nằm trên trục Ox, nên có tọa độ (a, 0, 0). - Điểm B nằm trên trục Oy, nên có tọa độ (0, b, 0). - Điểm C nằm trên trục Oz, nên có tọa độ (0, 0, c). Bước 2: Xác định phương trình của các đường thẳng AH, BH, CH. - Đường thẳng AH đi qua điểm A(a, 0, 0) và H(1, 2, 3), có vectơ chỉ phương là (1 - a, 2, 3). - Đường thẳng BH đi qua điểm B(0, b, 0) và H(1, 2, 3), có vectơ chỉ phương là (1, 2 - b, 3). - Đường thẳng CH đi qua điểm C(0, 0, c) và H(1, 2, 3), có vectơ chỉ phương là (1, 2, 3 - c). Bước 3: Tìm tọa độ của các điểm A, B, C dựa vào điều kiện trực tâm H. - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên các đường cao từ các đỉnh đến các cạnh đối diện vuông góc với nhau. - Đường thẳng AH vuông góc với BC, nên tích vô hướng của vectơ chỉ phương của AH và vectơ chỉ phương của BC bằng 0: (1 - a, 2, 3) · (0, -c, c) = 0 2(-c) + 3(c) = 0 -2c + 3c = 0 c = 0 (loại vì c khác 0) - Đường thẳng BH vuông góc với AC, nên tích vô hướng của vectơ chỉ phương của BH và vectơ chỉ phương của AC bằng 0: (1, 2 - b, 3) · (a, 0, -c) = 0 1(a) + 3(-c) = 0 a - 3c = 0 a = 3c - Đường thẳng CH vuông góc với AB, nên tích vô hướng của vectơ chỉ phương của CH và vectơ chỉ phương của AB bằng 0: (1, 2, 3 - c) · (-a, b, 0) = 0 1(-a) + 2(b) = 0 -a + 2b = 0 a = 2b Từ hai phương trình a = 3c và a = 2b, ta có: 3c = 2b b = \frac{3}{2}c Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. - Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) có phương trình dạng: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 - Thay a = 3c và b = \frac{3}{2}c vào phương trình: \frac{x}{3c} + \frac{y}{\frac{3}{2}c} + \frac{z}{c} = 1 \frac{x}{3c} + \frac{2y}{3c} + \frac{z}{c} = 1 \frac{x + 2y + 3z}{3c} = 1 x + 2y + 3z = 3c Bước 5: Tính tổng m + n + p. - Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có dạng mx + ny + pz - 14 = 0. - So sánh với phương trình x + 2y + 3z = 3c, ta có: m = 1, n = 2, p = 3 - Tổng m + n + p = 1 + 2 + 3 = 6 Đáp số: 6 Câu 18. Để tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số tốc độ tăng nhiệt độ \( f(t) = 3t^2 \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(t) \). Nguyên hàm của \( f(t) = 3t^2 \) là: \[ F(t) = \int 3t^2 \, dt = 3 \int t^2 \, dt = 3 \cdot \frac{t^3}{3} + C = t^3 + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \). Biết rằng nhiệt độ ban đầu của bình là 1°C, tức là khi \( t = 0 \), nhiệt độ \( F(0) = 1 \): \[ F(0) = 0^3 + C = 1 \] \[ C = 1 \] Vậy, nguyên hàm của \( f(t) \) là: \[ F(t) = t^3 + 1 \] Bước 3: Tính nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút. Thay \( t = 3 \) vào \( F(t) \): \[ F(3) = 3^3 + 1 = 27 + 1 = 28 \] Vậy, nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt là 28°C. Đáp số: 28°C. Câu 19. Để viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) và đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\): - Vector chỉ phương của \(\Delta_1\) là \(\vec{u}_1 = (1, -1, 1)\). - Vector chỉ phương của \(\Delta_2\) là \(\vec{u}_2 = (1, 2, -1)\). Vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai đường thẳng này là \(\vec{n}\), được tính bằng tích vector \(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\): \[ \vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-1) - (1)(2)) - \vec{j}((1)(-1) - (1)(1)) + \vec{k}((1)(2) - (-1)(1)) = \vec{i}(1 - 2) - \vec{j}(-1 - 1) + \vec{k}(2 + 1) = -\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k} = (-1, 2, 3) \] 2. Phương trình đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) và có vector chỉ phương là \(\vec{n} = (-1, 2, 3)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 + 3t \end{array} \right. \] hoặc phương trình đại lượng: \[ \frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{3} \] Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{3}} \] Câu 20. Để tính diện tích phần gạch chéo của cổng, ta cần tính diện tích hình chữ nhật trừ đi diện tích phần dưới của parabol. 1. Tính diện tích hình chữ nhật: - Chiều dài: 4 m - Chiều rộng: 2 m Diện tích hình chữ nhật là: \[ S_{\text{hcn}} = 4 \times 2 = 8 \text{ m}^2 \] 2. Tính diện tích phần dưới của parabol: - Phương trình parabol: \( y = -x^2 + 2 \) - Giới hạn tích phân từ \( x = -2 \) đến \( x = 2 \) Diện tích phần dưới của parabol là: \[ S_{\text{parabol}} = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 2) \, dx \] Ta tính tích phân: \[ \int_{-2}^{2} (-x^2 + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-2}^{2} \] \[ = \left( -\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + 2 \cdot (-2) \right) \] \[ = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) \] \[ = \left( -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{4}{3} \right) \] \[ = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \text{ m}^2 \] 3. Tính diện tích phần gạch chéo: \[ S_{\text{gạch chéo}} = S_{\text{hcn}} - S_{\text{parabol}} \] \[ = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \text{ m}^2 \] 4. Tính chi phí trang trí: - Giá thành trang trí: 1.200.000 đồng/m² \[ \text{Chi phí} = \frac{16}{3} \times 1.200.000 = \frac{19.200.000}{3} = 6.400.000 \text{ đồng} \] Đáp số: 6.400.000 đồng Câu 21. Để xác định tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng d: - Đường thẳng d đi qua điểm A(-688, -185, 8) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91, 75, 0)$. - Phương trình tham số của đường thẳng d: \[ \begin{cases} x = -688 + 91t \\ y = -185 + 75t \\ z = 8 \end{cases} \] 2. Xác định điều kiện để máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa: - Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa khi khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu (điểm O) là 417 km. - Khoảng cách từ điểm $(x, y, z)$ đến điểm O(0, 0, 0) là: \[ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 417 \] - Thay phương trình tham số vào: \[ \sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 8^2} = 417 \] 3. Giải phương trình để tìm giá trị của tham số t: - Bình phương cả hai vế: \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 417^2 \] - Rút gọn: \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 = 417^2 - 64 \] \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 = 173889 \] - Ta có phương trình bậc hai: \[ (688 - 91t)^2 + (185 - 75t)^2 = 173889 \] - Giải phương trình này để tìm giá trị của t. 4. Tìm giá trị của t: - Ta có phương trình: \[ (688 - 91t)^2 + (185 - 75t)^2 = 173889 \] - Đặt $a = 688 - 91t$ và $b = 185 - 75t$, ta có: \[ a^2 + b^2 = 173889 \] - Giải phương trình này để tìm giá trị của t. 5. Tìm tọa độ vị trí sớm nhất: - Thay giá trị của t vào phương trình tham số để tìm tọa độ của điểm. Sau khi giải phương trình, ta tìm được giá trị của t và thay vào phương trình tham số để tìm tọa độ vị trí sớm nhất. Kết luận: Tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $(x, y, z)$.