Giúp tôiiiiiiiiii Câu 4. (2,0 điểm),Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông,góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại I. Gọi K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác,C và I ), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M.,a) Chứng minh tứ giác BCKM là tứ giác nội tiếp đường tròn.,b) Tia BM cắt tia CI tại D . Chứng minh $BM.BD=BI^2.$,c) Gọi E đối xứng với B qua C . Chứng minh $\widehat{DEK}=\widehat{DCM}.$

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5374081,"userName":"Thoa Nguyen"}

a)

Vì $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên $\widehat{AMB} = 90^\circ$.

Do đó, $KM \perp AB$ tại M. Mà $CI \perp AB$ tại C nên $KM // CI$.

Suy ra, $\widehat{MKC} = \widehat{ICK}$ (hai góc so le trong).

Ta có $\widehat{MBC} = \widehat{MBI}$ là góc nội tiếp chắn cung MI.

Mà $\widehat{MKC} = \widehat{MIK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Do đó, $\widehat{MBC} = \widehat{ICK}$.

Xét tứ giác BCKM có $\widehat{MBC} = \widehat{MKC}$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau.

Vậy tứ giác BCKM là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b)

Xét $ riangle BMI$ và $ riangle BDI$ ta có:

* $\widehat{MBI}$ chung.

* $\widehat{BMI} = \widehat{BID}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MI).

Do đó, $ riangle BMI \sim riangle BDI$ (g.g)

Suy ra, $\frac{BM}{BI} = \frac{BI}{BD}$, hay $BM.BD = BI^2$.

c)

Do E đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BE.

Vì C là trung điểm của BE và O là trung điểm của AB, do đó CO là đường trung bình của $ riangle ABE$.

Suy ra $CO // AE$ và $CO = \frac{1}{2}AE$. Mà $AB \perp CI$ nên $AE \perp AB$ tại A.

Do đó, AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

Ta có:

* $\widehat{DEK} = \widehat{DAE} + \widehat{ADE}$. (Góc ngoài của tam giác ADE)

* $\widehat{DCM} = \widehat{DCA} + \widehat{ACM}$.

Mà $\widehat{ADE} = \widehat{CBM}$ (cùng phụ với $\widehat{BDM}$)

và $\widehat{CBM} = \widehat{CAM} = \widehat{ACM}$ (cùng chắn cung CM)

Nên $\widehat{ADE} = \widehat{ACM}$.

Ta có $\widehat{DAE} = \widehat{DCA}$ (Cùng là góc tạo bởi dây cung và tiếp tuyến với góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó, $\widehat{DEK} = \widehat{DCM}$.

Timi · Answer

Câu 4.
a) Ta có $\widehat{BKM}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường kính BM) và $\widehat{BCI}=90^\circ$ (vì CI vuông góc với AB). Do đó, tứ giác BCKM nội tiếp đường tròn (giao điểm của các đường thẳng BK, CM, BM, CK).

b) Ta có $\widehat{DBM}=\widehat{KCM}$ (cùng bù với $\widehat{CBM}$) và $\widehat{MDB}=\widehat{MKC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MC). Do đó, tam giác DBM đồng dạng với tam giác MKC (giao - giao). Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{BM}{DM}=\frac{MC}{KC}$, suy ra $BM.KC=MC.DM$. Mặt khác, ta có $\widehat{MCI}=\widehat{MBI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MI) và $\widehat{MIC}=\widehat{IMB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MB). Do đó, tam giác MCI đồng dạng với tam giác MBI (giao - giao). Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{MC}{MI}=\frac{MI}{MB}$, suy ra $MC.MB=MI^2$. Kết hợp với $BM.KC=MC.DM$, ta có $BM.BD=MI^2$.

c) Ta có $\widehat{ECD}=\widehat{BCD}$ (vì E đối xứng với B qua C) và $\widehat{EDC}=\widehat{BDC}$ (cùng bù với $\widehat{BDM}$). Do đó, tam giác ECD đồng dạng với tam giác BCD (giao - giao). Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{EC}{DC}=\frac{DC}{BC}$, suy ra $EC.BC=DC^2$. Mặt khác, ta có $\widehat{ECK}=\widehat{BCI}$ (vì E đối xứng với B qua C) và $\widehat{CEK}=\widehat{CBI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung IK). Do đó, tam giác ECK đồng dạng với tam giác BCI (giao - giao). Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{EK}{CK}=\frac{BI}{CI}$, suy ra $EK.CI=CK.BI$. Kết hợp với $EC.BC=DC^2$, ta có $EK.CI=DC.BI$. Mặt khác, ta có $\widehat{ECD}=\widehat{BCD}$ (vì E đối xứng với B qua C) và $\widehat{EDC}=\widehat{BDC}$ (cùng bù với $\widehat{BDM}$). Do đó, tam giác ECD đồng dạng với tam giác BCD (giao - giao). Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{EC}{DC}=\frac{DC}{BC}$, suy ra $EC.BC=DC^2$. Kết hợp với $EK.CI=DC.BI$, ta có $EK.CI=DC.BI$. Do đó, tam giác EKD đồng dạng với tam giác DCB (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có $\widehat{DEK}=\widehat{DCM}$.