Giúp mình…

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = x^2 + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Nguyên hàm của \( x^2 \) là: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] Nguyên hàm của \( 1 \) là: \[ \int 1 \, dx = x + C_2 \] Do đó, nguyên hàm của \( y = x^2 + 1 \) là tổng của hai nguyên hàm trên: \[ \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân. Vậy, đáp án đúng là: \[ A.~\frac{x^3}{3} + x + C \] Câu 2. Để tính xác suất của biến cố A, ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Trước tiên, ta cần biết xác suất của biến cố $\overline{B}$, tức là biến cố B không xảy ra: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,01 = 0,99 \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã biết vào công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,7 \cdot 0,01 + 0,09 \cdot 0,99 \] Ta thực hiện các phép nhân: \[ 0,7 \cdot 0,01 = 0,007 \] \[ 0,09 \cdot 0,99 = 0,0891 \] Cuối cùng, ta cộng hai kết quả lại: \[ P(A) = 0,007 + 0,0891 = 0,0961 \] Vậy, xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = 0,0961 \] Đáp án đúng là: B. 0,0961. Câu 3. Để tính $\int^1_0[f(x)+2g(x)]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân: \[ \int^1_0[f(x) + 2g(x)]dx = \int^1_0 f(x) dx + \int^1_0 2g(x) dx \] Bước 2: Tính $\int^1_0 2g(x) dx$: \[ \int^1_0 2g(x) dx = 2 \int^1_0 g(x) dx \] Bước 3: Thay giá trị của $\int^1_0 f(x) dx$ và $\int^1_0 g(x) dx$ vào: \[ \int^1_0 f(x) dx = 2 \] \[ \int^1_0 g(x) dx = 5 \] Do đó: \[ 2 \int^1_0 g(x) dx = 2 \times 5 = 10 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại: \[ \int^1_0[f(x) + 2g(x)]dx = 2 + 10 = 12 \] Vậy đáp án đúng là: D. 12 Câu 4. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2$, trục hoành Ox, các đường thẳng $x = 1$ và $x = 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định cận trên và cận dưới của tích phân: - Cận dưới là $x = 1$. - Cận trên là $x = 2$. 2. Tính tích phân của hàm số từ $x = 1$ đến $x = 2$: Diện tích S được tính bằng công thức: \[ S = \int_{1}^{2} x^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta có: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Do đó: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \] 4. Thay cận vào biểu thức đã tính: \[ S = \left( \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{1^3}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) \] \[ S = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] Vậy diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2$, trục hoành Ox, các đường thẳng $x = 1$ và $x = 2$ là $\frac{7}{3}$. Đáp án đúng là: $C.~S=\frac{7}{3}$. Câu 5. Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\alpha):~3x-y+2z+4=0$ sẽ có dạng: \[ 3x - y + 2z + d = 0 \] Để tìm giá trị của \(d\), ta thay tọa độ của điểm \(M(3; -1; -2)\) vào phương trình trên: \[ 3(3) - (-1) + 2(-2) + d = 0 \] \[ 9 + 1 - 4 + d = 0 \] \[ 6 + d = 0 \] \[ d = -6 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \((\alpha)\) là: \[ 3x - y + 2z - 6 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~3x - y + 2z - 6 = 0 \] Câu 6. Mặt cầu $(S):(x-5)^2+(y+4)^2+z^2=9$ có dạng chuẩn $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a,b,c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình chuẩn, ta nhận thấy: - Tâm của mặt cầu là $I(5,-4,0)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{9} = 3$. Do đó, tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là: - Tâm $I(5, -4, 0)$ - Bán kính $R = 3$ Vậy đáp án đúng là: $B.~I(5;-4;0)$ và $R=3.$ Câu 7. Để tính xác suất điều kiện \( P(A|B) \), ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(AB) \) là xác suất của biến cố \( AB \) xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố \( B \) xảy ra. Theo đề bài, ta có: - \( P(B) = 0,7 \) - \( P(AB) = 0,3 \) Áp dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{3}{7} \] Câu 8. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ xảy ra được tính bằng công thức: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - $P(AB)$ là xác suất của biến cố $A$ và $B$ cùng xảy ra. - $P(B)$ là xác suất của biến cố $B$. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \] Câu 9. Để tính bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-2=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn: Ta cần hoàn thành bình phương để viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$. 2. Hoàn thành bình phương: - Đối với $x$: $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$ - Đối với $y$: $y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1$ - Đối với $z$: $z^2 - 4z = (z-2)^2 - 4$ 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x-1)^2 - 1 + (y+1)^2 - 1 + (z-2)^2 - 4 - 2 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 - 8 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 8 \] 4. So sánh với phương trình chuẩn: Phương trình chuẩn của mặt cầu là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$. Từ đó ta thấy: \[ r^2 = 8 \implies r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Vậy bán kính của mặt cầu là $r = 2\sqrt{2}$. Đáp án đúng là: $C.~r=2\sqrt{2}$. Câu 10. Để tìm góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{1} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u} = (2, 1, 1)\). 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình: \[ x + 2y - z + 5 = 0 \] Từ phương trình này, ta thấy vectơ pháp tuyến của \((P)\) là \(\vec{n} = (1, 2, -1)\). 3. Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\): Gọi góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) là \(\theta\). Ta biết rằng: \[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] - Tính tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{n}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 2 + 2 - 1 = 3 \] - Tính độ dài của \(\vec{u}\): \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] - Tính độ dài của \(\vec{n}\): \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] - Thay vào công thức: \[ \sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] - Tìm góc \(\theta\): \[ \sin \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 30^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) là \(30^\circ\). Đáp án đúng là: \(C.~30^0\). Câu 11. Ta có công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Mặt khác, theo công thức xác suất liên hợp: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \] Thay vào công thức xác suất điều kiện ta có: \[ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\frac{P(A).P(B|A)}{P(B)}. \] Câu 12. Để viết phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ Oxyz, ta sử dụng công thức chung của phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(x_0, y_0, z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} = (a, b, c) \): \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Trong bài này, điểm \( A \) có tọa độ \( (1, -2, 3) \) và vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} = (2, -1, -2) \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 3}{-2} \] Do đó, phương trình đường thẳng là: \[ B.~\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-3}{-2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z-3}{-2}} \]