Giúp mình…

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định phát biểu đúng. a) Mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O(0,0,0). Thay tọa độ của O vào phương trình mặt cầu: \[ (0 - 1)^2 + (0 + 2)^2 + 0^2 = 1 + 4 + 0 = 5 \neq 9 \] Vậy phát biểu a) sai. b) Mặt cầu (S) có tâm I(1,-2,0) và bán kính R = 3. Phương trình mặt cầu có dạng chuẩn là \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), trong đó tâm là \(I(a, b, c)\) và bán kính là \(R\). So sánh với phương trình \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 9\), ta thấy tâm là \(I(1, -2, 0)\) và bán kính \(R = 3\). Vậy phát biểu b) đúng. c) Mặt cầu (S) cắt trục Oz tại các điểm có tọa độ (0,0,2) và (0,0,-2). Thay tọa độ của các điểm vào phương trình mặt cầu: - Thay (0,0,2): \[ (0 - 1)^2 + (0 + 2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \] - Thay (0,0,-2): \[ (0 - 1)^2 + (0 + 2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \] Cả hai điểm đều thỏa mãn phương trình mặt cầu, vậy phát biểu c) đúng. d) Điểm M(1,-2,4) nằm trong mặt cầu (S). Thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu: \[ (1 - 1)^2 + (-2 + 2)^2 + 4^2 = 0 + 0 + 16 = 16 > 9 \] Vậy điểm M nằm ngoài mặt cầu, phát biểu d) sai. Kết luận: - Phát biểu a) sai. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) đúng. - Phát biểu d) sai. Câu 2. a) Diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=1,~x=3$ được tính bằng công thức $S=\int^3_1(x^3+2x)dx$ Đúng vì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=1,~x=3$ được tính bằng công thức $S=\int^3_1(x^3+2x)dx$ b) $I=10\int^3_1f(x)dx+6\int^3_1g(x)dx=356.$ Ta có: $\int^3_1f(x)dx=\int^3_1(x^3+2x)dx=(\frac{x^4}{4}+x^2)|^3_1=29$ $\int^3_1g(x)dx=\int^3_1(x^2+x)dx=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})|^3_1=\frac{28}{3}$ Do đó $I=10\int^3_1f(x)dx+6\int^3_1g(x)dx=10\times 29+6\times \frac{28}{3}=356.$ c) Gọi $F(x)=\frac{x^4}4+2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thì $S=F(3)-F(1).$ Đúng vì $F(x)=\frac{x^4}4+2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $S=F(3)-F(1).$ d) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bới hàm số g, trục hoành và hai đường thẳng $x=1;x=2$ khi quay quanh trục Ox là $R=\frac{481\pi}{30}.$ Thể tích khối tròn xoay giới hạn bới hàm số g, trục hoành và hai đường thẳng $x=1;x=2$ khi quay quanh trục Ox là: $V=\pi\int^2_1(x^2+x)^2dx=\pi\int^2_1(x^4+2x^3+x^2)dx=\pi(\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3})|^2_1=\frac{481\pi}{30}.$ Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tính xác suất của các biến cố liên quan và kiểm tra các lựa chọn đã cho. 1. Tính xác suất của các biến cố: - Biến cố \( A \): Khách hàng chọn được sản phẩm loại I. \[ P(A) = 0,85 \] - Biến cố \( B \): Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng. \[ P(B) = ? \] 2. Tính xác suất điều kiện \( P(B|A) \): - Biến cố \( B|A \): Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng khi biết rằng sản phẩm đó là loại I. \[ P(B|A) = 1 - P(\text{sản phẩm loại I bị hỏng}) = 1 - 0,01 = 0,99 \] 3. Tính xác suất điều kiện \( P(B|\bar{A}) \): - Biến cố \( \bar{A} \): Khách hàng chọn được sản phẩm loại II. \[ P(\bar{A}) = 0,15 \] - Biến cố \( B|\bar{A} \): Khách hàng chọn được sản phẩm không bị hỏng khi biết rằng sản phẩm đó là loại II. \[ P(B|\bar{A}) = 1 - P(\text{sản phẩm loại II bị hỏng}) = 1 - 0,04 = 0,96 \] 4. Áp dụng công thức xác suất tổng để tính \( P(B) \): \[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(B) = 0,85 \cdot 0,99 + 0,15 \cdot 0,96 \] Tính toán: \[ P(B) = 0,85 \cdot 0,99 + 0,15 \cdot 0,96 = 0,8415 + 0,144 = 0,9855 \] 5. Tính xác suất điều kiện \( P(A|B) \): Áp dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(A|B) = \frac{0,85 \cdot 0,99}{0,9855} \] Tính toán: \[ P(A|B) = \frac{0,8415}{0,9855} \approx 0,854 \] Kết luận: - \( P(B|A) = 0,99 \) - \( P(A|B) \approx 0,854 \) - \( P(A) = 0,85 \) - \( P(B) = 0,9855 \) Do đó, các lựa chọn đúng là: - \( a)~P(B|A)=0,99 \) - \( c)~P(A)=0,85 \) - \( d)~P(B)=0,9855 \) Lựa chọn \( b)~P(A|B)=0,95 \) là sai vì \( P(A|B) \approx 0,854 \). Câu 4. a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 6. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, (a, b, c) là các hệ số của phương trình mặt phẳng \(x - y + 2z + 7 = 0\) và (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của điểm A(1, 2, 0). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 7|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 2 + 0 + 7|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{|6|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là \(\sqrt{6}\), không phải 6. b) Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp là: \(\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-2}\) Đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) sẽ có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \((-1, 1, -2)\). Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là: \[ \frac{x-1}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-0}{-2} \] c) Mặt phẳng (ABC) có một véctơ pháp tuyến là (2, 1, 1). Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta cần tìm hai vectơ trong mặt phẳng này, chẳng hạn \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 1, 0 - 2, 2 - 0) = (0, -2, 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 1, 1 - 2, 3 - 0) = (1, -1, 3) \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là tích vector của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(3) - (2)(-1)) - \mathbf{j}((0)(3) - (2)(1)) + \mathbf{k}((0)(-1) - (-2)(1)) \] \[ = \mathbf{i}(-6 + 2) - \mathbf{j}(0 - 2) + \mathbf{k}(0 + 2) = -4\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (-4, 2, 2) \] Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \((-4, 2, 2)\), không phải \((2, 1, 1)\). d) Phương trình đường thẳng đi qua A và C là: \(\left\{\begin{array}lx=2+t\\y=1-t\\z=3+3t\end{array}\right.\) Đường thẳng đi qua hai điểm A(1, 2, 0) và C(2, 1, 3) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AC} = (1, -1, 3)\). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và C là: \[ \left\{\begin{array}lx = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 0 + 3t \end{array}\right. \] Vậy phương trình đúng là: \[ \left\{\begin{array}lx = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3t \end{array}\right. \] Kết luận: a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là \(\sqrt{6}\). b) Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp là: \(\frac{x-1}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{-2}\). c) Mặt phẳng (ABC) có một véctơ pháp tuyến là \((-4, 2, 2)\). d) Phương trình đường thẳng đi qua A và C là: \(\left\{\begin{array}lx = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3t \end{array}\right.\). Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc Bayes. Chúng ta cần xác định các xác suất liên quan và áp dụng công thức Bayes để tìm xác suất người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính. Bước 1: Xác định các xác suất ban đầu: - Xác suất một người bị bệnh: \( P(B) = 0.01 \) - Xác suất một người không bị bệnh: \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0.99 \) Bước 2: Xác định các xác suất điều kiện: - Xác suất kết quả dương tính khi người đó bị bệnh: \( P(D|B) = 0.99 \) - Xác suất kết quả âm tính khi người đó không bị bệnh: \( P(\overline{D}|\overline{B}) = 0.99 \) - Xác suất kết quả dương tính khi người đó không bị bệnh: \( P(D|\overline{B}) = 1 - P(\overline{D}|\overline{B}) = 0.01 \) Bước 3: Áp dụng công thức Bayes để tìm xác suất người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính: \[ P(B|D) = \frac{P(D|B) \cdot P(B)}{P(D)} \] Trong đó, \( P(D) \) là xác suất tổng thể của kết quả dương tính, được tính bằng: \[ P(D) = P(D|B) \cdot P(B) + P(D|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] \[ P(D) = 0.99 \cdot 0.01 + 0.01 \cdot 0.99 \] \[ P(D) = 0.0099 + 0.0099 \] \[ P(D) = 0.0198 \] Bây giờ, chúng ta có thể tính \( P(B|D) \): \[ P(B|D) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0198} \] \[ P(B|D) = \frac{0.0099}{0.0198} \] \[ P(B|D) = 0.5 \] Vậy xác suất để người đó thực sự bị bệnh khi kết quả kiểm tra là dương tính là 0.5 hoặc 50%. Đáp số: 50%