mong mọi người giúp mình với ạ

Câu 1: Để xác định hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \), ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Theo định nghĩa của nguyên hàm, hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \) nếu và chỉ nếu đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \) trên toàn bộ khoảng \( K \). Điều này có thể viết dưới dạng: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~F^\prime(x)=f(x),\forall x\in K. \] Lập luận từng bước: 1. Xác định định nghĩa của nguyên hàm: Nếu \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), thì \( F'(x) = f(x) \). 2. Kiểm tra các lựa chọn: - Lựa chọn A: \( F'(x) = -f(x) \) không đúng vì đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải là \( -f(x) \). - Lựa chọn B: \( f'(x) = F(x) \) không đúng vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \). - Lựa chọn C: \( f'(x) = -F(x) \) không đúng vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \). - Lựa chọn D: \( F'(x) = f(x) \) đúng theo định nghĩa nguyên hàm. Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 2. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = x^5 \), chúng ta cần tìm một hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của nó là \( x^5 \). Ta xét từng đáp án: A. \( y = x^6 \) Đạo hàm của \( y = x^6 \) là: \[ \frac{d}{dx}(x^6) = 6x^5 \] B. \( y = \frac{x^6}{6} \) Đạo hàm của \( y = \frac{x^6}{6} \) là: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^6}{6}\right) = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 = x^5 \] C. \( y = 5x^4 \) Đạo hàm của \( y = 5x^4 \) là: \[ \frac{d}{dx}(5x^4) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3 \] D. \( y = 6x^5 \) Đạo hàm của \( y = 6x^5 \) là: \[ \frac{d}{dx}(6x^5) = 6 \cdot 5x^4 = 30x^4 \] Như vậy, chỉ có đáp án B là thỏa mãn điều kiện đạo hàm của nó là \( x^5 \). Vậy nguyên hàm của hàm số \( y = x^5 \) là \( y = \frac{x^6}{6} \). Đáp án đúng là: B. \( y = \frac{x^6}{6} \). Câu 3. Ta có: \[ \int^3_5 f(x) \, dx = -\int^5_3 f(x) \, dx \] Biết rằng: \[ \int^5_3 f(x) \, dx = 2 \] Do đó: \[ \int^3_5 f(x) \, dx = -2 \] Đáp án đúng là: C. -2. Câu 4. Để tìm quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của chất điểm theo thời gian: - Gia tốc của chất điểm là \( a(t) = t^2 + 4t \). - Vận tốc \( v(t) \) là tích phân của gia tốc \( a(t) \): \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (t^2 + 4t) \, dt = \frac{t^3}{3} + 2t^2 + C \] - Ta biết rằng tại thời điểm ban đầu \( t = 0 \), vận tốc của chất điểm là \( v(0) = 15 \, m/s \). Do đó: \[ v(0) = \frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + C = 15 \implies C = 15 \] - Vậy vận tốc của chất điểm theo thời gian là: \[ v(t) = \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 15 \] 2. Tìm quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian 3 giây: - Quãng đường \( s(t) \) là tích phân của vận tốc \( v(t) \): \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int \left( \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 15 \right) \, dt = \frac{t^4}{12} + \frac{2t^3}{3} + 15t + D \] - Ta biết rằng tại thời điểm ban đầu \( t = 0 \), quãng đường đã đi được là 0. Do đó: \[ s(0) = \frac{0^4}{12} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 15 \cdot 0 + D = 0 \implies D = 0 \] - Vậy quãng đường của chất điểm theo thời gian là: \[ s(t) = \frac{t^4}{12} + \frac{2t^3}{3} + 15t \] 3. Tính quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian 3 giây: - Thay \( t = 3 \) vào biểu thức của \( s(t) \): \[ s(3) = \frac{3^4}{12} + \frac{2 \cdot 3^3}{3} + 15 \cdot 3 = \frac{81}{12} + \frac{54}{3} + 45 = 6,75 + 18 + 45 = 69,75 \, m \] Vậy quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian 3 giây là \( 69,75 \, m \). Đáp án đúng là: C. 69,75m. Câu 5. Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số \(\frac{x-2}{3} = \frac{y+5}{4} = \frac{z-2}{-1}\), ta cần nhận biết rằng các số ở mẫu của phương trình này chính là các thành phần của vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \[ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 5}{4} = \frac{z - 2}{-1} \] Từ đó, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((3, 4, -1)\). Do đó, trong các lựa chọn đã cho, vectơ chỉ phương đúng là: \[ A.~\overrightarrow{u_2} = (3, 4, -1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\overrightarrow{u_2} = (3, 4, -1)} \] Câu 6. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) trong không gian Oxyz, ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng \( d \) được cho là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy rằng khi thay đổi giá trị của tham số \( t \), các tọa độ \( x, y, z \) sẽ thay đổi theo các hệ số tương ứng của \( t \). Cụ thể: - Khi \( t \) tăng 1 đơn vị, \( x \) giảm 1 đơn vị. - Khi \( t \) tăng 1 đơn vị, \( y \) tăng 2 đơn vị. - Khi \( t \) tăng 1 đơn vị, \( z \) tăng 1 đơn vị. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số của \( t \) trong phương trình tham số. Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \) là: \[ \overrightarrow{u} = (-1, 2, 1) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: \[ A.~\overrightarrow{u_1}=(-1;2;3) \] \[ B.~\overrightarrow{u_4}=(-1;2;1) \] \[ C.~\overrightarrow{u_3}=(2;1;3) \] \[ D.~\overrightarrow{u_2}=(2;1;1) \] Ta thấy rằng vectơ chỉ phương đúng là: \[ B.~\overrightarrow{u_4}=(-1;2;1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\overrightarrow{u_4}=(-1;2;1)} \] Câu 7. Để xác định phương trình tham số của đường thẳng Oy trong không gian Oxyz, chúng ta cần hiểu rằng đường thẳng Oy nằm trên trục y và đi qua gốc tọa độ O(0,0,0). Phương trình tham số của đường thẳng Oy sẽ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{array} \right. \] với \( t \in \mathbb{R} \). Giải thích từng bước: 1. Đường thẳng Oy nằm trên trục y, do đó tọa độ x và z luôn bằng 0. 2. Tọa độ y thay đổi theo tham số \( t \), với \( t \) thuộc tập số thực \(\mathbb{R}\). Do đó, phương án đúng là: \[ B.\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=t(t\in\mathbb R).\\z=0\end{array}\right. \] Đáp án: B. Câu 8. Mặt cầu $(S):~x^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9$ có tâm $I(0,-1,3)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$. Vậy đáp án đúng là: D. 3. Câu 9. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=16$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình chuẩn, ta có: - $(x+1)^2 = (x - (-1))^2$ - $(y-2)^2 = (y - 2)^2$ - $(z+3)^2 = (z - (-3))^2$ Từ đó, ta suy ra tâm của mặt cầu $(S)$ là $(-1, 2, -3)$. Đáp án: Tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(-1, 2, -3)$.