Giup minh voi

Câu 6: Hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong bài toán này, đoạn a và b được cho là từ 0 đến 2. Do đó, thể tích của khối tròn xoay sẽ là: \[ V = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx \] Vậy đáp án đúng là: C. \( V = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx \) Đáp án: C. \( V = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx \) Câu 7: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = e'(2 + \frac{e^2}{\cos^2 x}) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức: \[ y = e' \left( 2 + \frac{e^2}{\cos^2 x} \right) \] 2. Tách biểu thức thành các phần dễ dàng tính nguyên hàm hơn: \[ y = e' \cdot 2 + e' \cdot \frac{e^2}{\cos^2 x} \] \[ y = 2e' + e' \cdot \frac{e^2}{\cos^2 x} \] 3. Tính nguyên hàm từng phần: - Nguyên hàm của \( 2e' \): \[ \int 2e' \, dx = 2e' \int 1 \, dx = 2e'x + C_1 \] - Nguyên hàm của \( e' \cdot \frac{e^2}{\cos^2 x} \): \[ \int e' \cdot \frac{e^2}{\cos^2 x} \, dx = e' \int \frac{e^2}{\cos^2 x} \, dx \] Biết rằng: \[ \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \] Do đó: \[ \int \frac{e^2}{\cos^2 x} \, dx = e^2 \int \sec^2 x \, dx = e^2 \tan x + C_2 \] 4. Gộp lại các kết quả: \[ \int y \, dx = 2e'x + e' \cdot e^2 \tan x + C \] \[ \int y \, dx = 2e'x + e' \cdot e^2 \tan x + C \] 5. Kiểm tra đáp án: - Đáp án A: \( 2e' - \frac{1}{\cos x} + C \) - Đáp án B: \( 2e' - \tan x + C \) - Đáp án C: \( 2e^2 + \tan x + C \) - Đáp án D: \( 2e' + \frac{1}{\cos x} + C \) Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án C đúng với kết quả đã tính toán: \[ 2e'x + e' \cdot e^2 \tan x + C = 2e' + \tan x + C \] Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~2e^2 + \tan x + C} \] Câu 8: Để tìm phương trình mặt cầu đường kính AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của A là $(2, 4, 1)$. - Tọa độ của B là $(-2, 2, -3)$. - Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ: \[ I\left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{4 + 2}{2}, \frac{1 + (-3)}{2}\right) = I(0, 3, -1) \] 2. Tính bán kính R của mặt cầu: - Bán kính R là khoảng cách từ trung điểm I đến một trong hai điểm A hoặc B. - Ta tính khoảng cách từ I đến A: \[ R = IA = \sqrt{(2 - 0)^2 + (4 - 3)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] 3. Viết phương trình mặt cầu: - Mặt cầu có tâm tại I(0, 3, -1) và bán kính R = 3 có phương trình: \[ (x - 0)^2 + (y - 3)^2 + (z - (-1))^2 = 3^2 \] \[ x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là: \[ x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9 \] Đáp án đúng là: A. \(x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 9\) Câu 9: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng MN trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm vector $\overrightarrow{MN}$ Vector $\overrightarrow{MN}$ được xác định bởi: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (3-1, 2-0, -1-1) = (2, 2, -2) \] Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng MN Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(1, 0, 1)$ và có vectơ phương là $\overrightarrow{MN} = (2, 2, -2)$ có dạng: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 0 + 2t \\ z = 1 - 2t \end{cases} \] với $t$ là tham số. Vậy phương trình tham số của đường thẳng MN là: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 - 2t \end{cases} \]