Giup minh voi

Câu 10: Để tính tích phân \( I = \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + 2 \sin x] \, dx \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tách tích phân: \[ I = \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx + \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \, dx \] 2. Tính từng phần riêng lẻ: - Phần thứ nhất: \[ \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \] Ta biết rằng: \[ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5 \] Do đó, để tính \(\int_{x}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx\), ta cần biết thêm thông tin về \(f(x)\) trên đoạn \([x, \frac{\pi}{2}]\). Tuy nhiên, vì không có thêm thông tin cụ thể về \(f(x)\) trên đoạn này, ta sẽ giữ nguyên biểu thức này. - Phần thứ hai: \[ \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \, dx \] Ta tính tích phân này: \[ \int 2 \sin x \, dx = -2 \cos x \] Do đó: \[ \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \, dx = \left[ -2 \cos x \right]_{x}^{\frac{\pi}{2}} \] Thay cận: \[ = -2 \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + 2 \cos x \] Vì \(\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0\): \[ = 0 + 2 \cos x = 2 \cos x \] 3. Ghép lại kết quả: \[ I = \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx + 2 \cos x \] 4. Xét các đáp án: - Đáp án A: 7 - Đáp án B: \(5 + \frac{\pi}{2}\) - Đáp án C: \(5 + \pi\) - Đáp án D: 3 Do không có thêm thông tin về \(f(x)\) trên đoạn \([x, \frac{\pi}{2}]\), ta không thể xác định chính xác giá trị của \(\int_{x}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx\). Tuy nhiên, dựa vào các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án B (\(5 + \frac{\pi}{2}\)) là hợp lý nhất vì nó bao gồm cả giá trị của \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5\) và một phần tích phân của \(2 \sin x\). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~5 + \frac{\pi}{2}} \] Câu 11: Để tính tích phân $\int^2_0\frac{x+2}{x}dx$, ta thực hiện như sau: \[ \int^2_0\frac{x+2}{x}dx = \int^2_0\left(1 + \frac{2}{x}\right)dx \] Tách tích phân thành hai phần: \[ = \int^2_0 1 \, dx + \int^2_0 \frac{2}{x} \, dx \] Tính từng phần riêng lẻ: \[ \int^2_0 1 \, dx = [x]^2_0 = 2 - 0 = 2 \] \[ \int^2_0 \frac{2}{x} \, dx = 2 \int^2_0 \frac{1}{x} \, dx = 2 [\ln|x|]^2_0 = 2 (\ln 2 - \ln 0) \] Lưu ý rằng $\ln 0$ không xác định, nhưng trong ngữ cảnh này, ta hiểu rằng cận dưới là 0+ (tức là cận dưới rất gần 0 nhưng không bằng 0). Do đó, ta có: \[ 2 (\ln 2 - \ln 0+) = 2 \ln 2 \] Vậy tích phân ban đầu là: \[ \int^2_0\frac{x+2}{x}dx = 2 + 2 \ln 2 \] So sánh với dạng $a + b \ln c$, ta nhận thấy: \[ a = 2, \quad b = 2, \quad c = 2 \] Tổng $S = a + b + c$ là: \[ S = 2 + 2 + 2 = 6 \] Vậy đáp án đúng là B. 6. Câu 12: Để tính $P(B|A)$, ta cần sử dụng công thức xác suất điều kiện và các thông tin đã cho. Trước tiên, ta biết rằng: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Từ đó suy ra: \[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \] \[ P(A \cap B) = 0,3 \cdot 0,7 = 0,21 \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện để tính $P(B|A)$: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] \[ P(B|A) = \frac{0,21}{0,5} = \frac{21}{50} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{21}{50} \] Câu 1: a) Ta thấy vectơ $\overrightarrow{n}_1 = (2, 1, 2)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $P_1: 2x + y + 2z - 1 = 0$. b) Ta thấy vectơ $\overrightarrow{n}_2 = (1, -2, -2)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $P_2: x - 2y - 2z - 7 = 0$. c) Để tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{n}_1$ và $\overrightarrow{n}_2$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2}{|\overrightarrow{n}_1| |\overrightarrow{n}_2|} \] Trong đó: \[ \overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) = 2 - 2 - 4 = -4 \] \[ |\overrightarrow{n}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\overrightarrow{n}_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Do đó: \[ \cos(\theta) = \frac{-4}{3 \cdot 3} = \frac{-4}{9} \] d) Góc giữa hai mặt phẳng $P_1$ và $P_2$ là góc giữa hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}_1$ và $\overrightarrow{n}_2$. Ta đã tính được $\cos(\theta) = -\frac{4}{9}$. Để tìm góc $\theta$, ta sử dụng máy tính hoặc bảng số để tìm giá trị của $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{4}{9}\right) \] Sử dụng máy tính, ta có: \[ \theta \approx 116^\circ \] Vậy, góc giữa hai mặt phẳng $P_1$ và $P_2$ là $116^\circ$. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về tỷ lệ mắc bệnh bò điên trong tổng số con bò và độ chính xác của xét nghiệm. Tuy nhiên, giả sử rằng chúng ta có các thông tin sau: - Tỷ lệ mắc bệnh bò điên trong tổng số con bò là \( p \). - Độ chính xác của xét nghiệm là \( q \), nghĩa là nếu một con bò mắc bệnh thì xét nghiệm sẽ phát hiện đúng với xác suất \( q \), và nếu một con bò không mắc bệnh thì xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất \( q \). Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước: 1. Tính xác suất một con bò mắc bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính: - Xác suất một con bò mắc bệnh là \( p \). - Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính khi con bò mắc bệnh là \( q \). - Vậy xác suất một con bò mắc bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính là \( p \times q \). 2. Tính xác suất một con bò không mắc bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính: - Xác suất một con bò không mắc bệnh là \( 1 - p \). - Xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính khi con bò không mắc bệnh là \( 1 - q \). - Vậy xác suất một con bò không mắc bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính là \( (1 - p) \times (1 - q) \). 3. Tính xác suất tổng thể một con bò cho kết quả dương tính: - Xác suất tổng thể một con bò cho kết quả dương tính là tổng của xác suất một con bò mắc bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính và xác suất một con bò không mắc bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính. - Vậy xác suất tổng thể một con bò cho kết quả dương tính là: \[ p \times q + (1 - p) \times (1 - q) \] 4. Tính xác suất một con bò mắc bệnh khi xét nghiệm cho kết quả dương tính: - Xác suất một con bò mắc bệnh khi xét nghiệm cho kết quả dương tính là xác suất một con bò mắc bệnh và xét nghiệm cho kết quả dương tính chia cho xác suất tổng thể một con bò cho kết quả dương tính. - Vậy xác suất một con bò mắc bệnh khi xét nghiệm cho kết quả dương tính là: \[ \frac{p \times q}{p \times q + (1 - p) \times (1 - q)} \] Đây là công thức cuối cùng để tính xác suất một con bò mắc bệnh khi xét nghiệm cho kết quả dương tính. Để có kết quả cụ thể, chúng ta cần biết giá trị của \( p \) và \( q \).