bsbshahbanananan

Câu 39. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một để xác định xem các cặp biến cố nào là độc lập. Trường hợp a) Biến cố A và B độc lập: - Theo định nghĩa, hai biến cố A và B là độc lập nếu xác suất của biến cố A không phụ thuộc vào việc biến cố B đã xảy ra hay chưa và ngược lại. - Điều này có nghĩa là \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). Trường hợp b) Biến cố B và A không độc lập: - Nếu biến cố A và B độc lập, thì theo tính chất của xác suất, biến cố B và A cũng sẽ độc lập. - Do đó, câu này là sai vì nếu A và B độc lập thì B và A cũng độc lập. Trường hợp c) Biến cố $\overline{A}$ và $\overline{B}$ độc lập: - Nếu A và B độc lập, thì xác suất của $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng sẽ độc lập. - Điều này có nghĩa là \( P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \). - Vì vậy, câu này là đúng. Trường hợp d) \( P(A \cap B) = P(A) - P(B) \): - Nếu A và B độc lập, thì \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). - Do đó, \( P(A \cap B) = P(A) - P(B) \) là sai vì nó không tuân theo quy tắc xác suất của biến cố độc lập. Kết luận: - Câu a) đúng vì nếu A và B độc lập thì B và A cũng độc lập. - Câu b) sai vì nếu A và B độc lập thì B và A cũng độc lập. - Câu c) đúng vì nếu A và B độc lập thì $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập. - Câu d) sai vì \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) chứ không phải \( P(A) - P(B) \). Vậy đáp án đúng là: - a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Câu 40. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. Phần a) Tính đạo hàm của hàm số \( y = f(x) = x^2 + x - 1 \) Ta có: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + x - 1) = 2x + 1 \] Như vậy, phần a) đã sai vì đạo hàm đúng là \( y' = 2x + 1 \). Phần b) Tính giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = 0 \) Thay \( x = 0 \) vào đạo hàm: \[ y'(0) = 2(0) + 1 = 1 \] Như vậy, phần b) cũng đã sai vì giá trị đúng là \( y'(0) = 1 \). Phần c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M(0, -1) \) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M(0, -1) \) là giá trị của đạo hàm tại điểm đó: \[ y'(0) = 1 \] Như vậy, phần c) đã sai vì hệ số góc đúng là 1. Phần d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \( M(0, -1) \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Ở đây, \( x_0 = 0 \), \( y_0 = -1 \), và \( f'(0) = 1 \). Thay vào ta có: \[ y - (-1) = 1(x - 0) \] \[ y + 1 = x \] \[ y = x - 1 \] Như vậy, phần d) đã sai vì phương trình tiếp tuyến đúng là \( y = x - 1 \). Kết luận: - Phần a) Đạo hàm của hàm số \( y = x^2 + x - 1 \) là \( y' = 2x + 1 \). - Phần b) Giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = 0 \) là \( y'(0) = 1 \). - Phần c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( M(0, -1) \) là 1. - Phần d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \( M(0, -1) \) là \( y = x - 1 \). Câu 41. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Xác định vận tốc tức thời của chuyển động: Vận tốc tức thời của chuyển động được xác định bằng đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). Ta có: \[ s(t) = t^2 - 4t + 3 \] Tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 4t + 3) = 2t - 4 \] Do đó, \( s'(t) = 2t - 4 \). b) Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \): Thay \( t = 3 \) vào biểu thức \( s'(t) \): \[ s'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 \text{ m/s} \] c) Chuyển động dừng hẳn khi vận tốc tức thời bằng 0: \[ s'(t) = 2t - 4 = 0 \] Giải phương trình: \[ 2t - 4 = 0 \] \[ 2t = 4 \] \[ t = 2 \] Vậy, với \( t = 2 \), chuyển động dừng hẳn. d) Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 4 \): Gia tốc tức thời của chuyển động được xác định bằng đạo hàm của vận tốc tức thời \( s'(t) \). Ta có: \[ s'(t) = 2t - 4 \] Tính đạo hàm của \( s'(t) \): \[ s''(t) = \frac{d}{dt}(2t - 4) = 2 \] Do đó, gia tốc của chuyển động là hằng số và bằng 2 m/s². Tại thời điểm \( t = 4 \), gia tốc vẫn là: \[ s''(4) = 2 \text{ m/s}^2 \] Kết luận: a) \( s'(t) = 2t - 4 \) b) Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3 \) là 2 m/s. c) Với \( t = 2 \), chuyển động dừng hẳn. d) Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 4 \) là 2 m/s². Câu 42. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = x - \sin(2x) \) Ta có: \[ f(x) = x - \sin(2x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và đạo hàm của sin: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(\sin(2x)) \] \[ f'(x) = 1 - 2\cos(2x) \] Như vậy: \[ f'(x) = 1 - 2\cos(2x) \] Phần b) Tính giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = \frac{\pi}{2} \) Thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào biểu thức đạo hàm: \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 2\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \] \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 2\cos(\pi) \] \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 2(-1) \] \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 2 \] \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \] Phần c) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) Ta có: \[ f'(x) = 1 - 2\cos(2x) \] Phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 1 - 2\cos(2x) = 0 \] \[ 2\cos(2x) = 1 \] \[ \cos(2x) = \frac{1}{2} \] Phần d) Xác định số nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0; \pi]\) Phương trình \( \cos(2x) = \frac{1}{2} \) có nghiệm: \[ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Trên đoạn \([0; \pi]\), ta xét các giá trị của \( k \): - Khi \( k = 0 \): \[ 2x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} \] \[ 2x = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} \] (loại vì \( x < 0 \)) - Khi \( k = 1 \): \[ 2x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} \] \[ 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} \] Do đó, trên đoạn \([0; \pi]\), phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm: \[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{2\pi}{3} \] Tuy nhiên, trong đề bài yêu cầu chỉ có một nghiệm \( x = \frac{5\pi}{6} \). Điều này có thể do lỗi hoặc hiểu lầm trong đề bài. Trên thực tế, phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm trên đoạn \([0; \pi]\). Kết luận - Đạo hàm của hàm số \( f(x) = x - \sin(2x) \) là \( f'(x) = 1 - 2\cos(2x) \). - Giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = \frac{\pi}{2} \) là \( f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \). - Phương trình \( f'(x) = 0 \) tương đương với \( \cos(2x) = \frac{1}{2} \). - Trên đoạn \([0; \pi]\), phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm \( x = \frac{\pi}{6} \) và \( x = \frac{2\pi}{3} \).