giải bài tập hồ mình với

Câu 4. Để tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 0,25 \) giờ, ta cần biết vận tốc \( v(t) \) là hàm của thời gian \( t \). Từ đồ thị, ta thấy rằng đồ thị vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh \( I\left(\frac{1}{2}; 8\right) \) và trục đối xứng song song với trục tung. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol. Do đường parabol có đỉnh \( I\left(\frac{1}{2}; 8\right) \) và trục đối xứng song song với trục tung, ta có thể viết phương trình của đường parabol dưới dạng: \[ v(t) = a(t - \frac{1}{2})^2 + 8 \] Bước 2: Xác định hệ số \( a \). Ta biết rằng tại \( t = 0 \), vận tốc \( v(0) = 0 \). Thay vào phương trình trên: \[ 0 = a(0 - \frac{1}{2})^2 + 8 \] \[ 0 = a \cdot \frac{1}{4} + 8 \] \[ a \cdot \frac{1}{4} = -8 \] \[ a = -32 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ v(t) = -32(t - \frac{1}{2})^2 + 8 \] Bước 3: Tính gia tốc \( a(t) \). Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \) theo thời gian \( t \): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \] Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v(t) = -32(t - \frac{1}{2})^2 + 8 \] \[ \frac{dv(t)}{dt} = -32 \cdot 2(t - \frac{1}{2}) \cdot 1 \] \[ \frac{dv(t)}{dt} = -64(t - \frac{1}{2}) \] Bước 4: Tính gia tốc tại thời điểm \( t = 0,25 \) giờ. Thay \( t = 0,25 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(0,25) = -64(0,25 - \frac{1}{2}) \] \[ a(0,25) = -64(0,25 - 0,5) \] \[ a(0,25) = -64(-0,25) \] \[ a(0,25) = 16 \] Vậy gia tốc của vật lúc \( t = 0,25 \) giờ là \( 16 \) đơn vị gia tốc. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Oy. 2. Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A. 3. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm A vuông góc với đường thẳng \(x - y - 3 = 0\). Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Oy. - Điểm giao với trục Oy có hoành độ \(x = 0\). Thay \(x = 0\) vào phương trình hàm số: \[ y = 2(0)^3 + 9(0)^2 - 0 + 3 = 3 \] Vậy tọa độ điểm A là \(A(0, 3)\). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A. - Đạo hàm của hàm số \(y = 2x^3 + 9x^2 - x + 3\) là: \[ y' = 6x^2 + 18x - 1 \] - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A (\(x = 0\)) là: \[ y'(0) = 6(0)^2 + 18(0) - 1 = -1 \] Bước 3: Chứng minh tiếp tuyến tại điểm A vuông góc với đường thẳng \(x - y - 3 = 0\). - Đường thẳng \(x - y - 3 = 0\) có dạng \(y = x - 3\), vậy hệ số góc của đường thẳng này là 1. - Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của các hệ số góc bằng -1: \[ (-1) \times 1 = -1 \] Vậy tiếp tuyến tại điểm A vuông góc với đường thẳng \(x - y - 3 = 0\). Đáp số: - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là \(-1\). - Tiếp tuyến tại điểm A vuông góc với đường thẳng \(x - y - 3 = 0\). Câu 2. Để tính xác suất để học sinh đó yêu thích ít nhất một trong hai môn học, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm số học sinh yêu thích ít nhất một trong hai môn học: - Số học sinh yêu thích ngoại ngữ: 80 học sinh. - Số học sinh yêu thích tin học: 100 học sinh. - Số học sinh yêu thích cả ngoại ngữ và tin học: 40 học sinh. Ta áp dụng công thức tính số phần tử của tập hợp hợp: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Trong đó: - \( |A| \) là số học sinh yêu thích ngoại ngữ. - \( |B| \) là số học sinh yêu thích tin học. - \( |A \cap B| \) là số học sinh yêu thích cả ngoại ngữ và tin học. Thay các giá trị vào công thức: \[ |A \cup B| = 80 + 100 - 40 = 140 \] Vậy, có 140 học sinh yêu thích ít nhất một trong hai môn học. 2. Tính xác suất: - Tổng số học sinh khối 11: 400 học sinh. - Số học sinh yêu thích ít nhất một trong hai môn học: 140 học sinh. Xác suất để học sinh đó yêu thích ít nhất một trong hai môn học là: \[ P = \frac{|A \cup B|}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{140}{400} = \frac{7}{20} \] Đáp số: Xác suất để học sinh đó yêu thích ít nhất một trong hai môn học là $\frac{7}{20}$. Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình lập phương được tạo thành từ các miếng bìa carton, và điểm O nằm ở tâm của một trong các mặt của hình lập phương. Đường thẳng AB nằm trên một cạnh của hình lập phương và có độ dài là 2a. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm - Giả sử hình lập phương có cạnh dài a và tâm của một mặt nằm tại điểm O(0, 0, 0). - Điểm A và B nằm trên cùng một cạnh của hình lập phương, do đó ta có thể giả sử A(0, 0, a) và B(a, 0, a). Bước 2: Tìm vectơ OA và OB - Vectơ OA = (0 - 0, 0 - 0, a - 0) = (0, 0, a) - Vectơ OB = (a - 0, 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a) Bước 3: Tìm vectơ AB - Vectơ AB = (a - 0, 0 - 0, a - a) = (a, 0, 0) Bước 4: Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB - Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian: \[ d = \frac{| \vec{OA} \times \vec{AB} |}{| \vec{AB} |} \] - Tính tích vector OA và AB: \[ \vec{OA} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & a \\ a & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - a \cdot 0) \mathbf{i} - (0 \cdot a - a \cdot 0) \mathbf{j} + (0 \cdot 0 - 0 \cdot a) \mathbf{k} = (0, 0, 0) \] - Tính độ dài của vectơ AB: \[ | \vec{AB} | = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a \] - Vì tích vector OA và AB là (0, 0, 0), nên khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là: \[ d = \frac{| (0, 0, 0) |}{a} = 0 \] Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng điểm O nằm trên đường thẳng AB, do đó khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 0. Đáp số: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 0.