Giải hộ e với

Câu 1. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta cần tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Các điểm này sẽ giúp ta xác định các khoảng tăng và giảm của hàm số. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm $y'$ để xác định các khoảng tăng và giảm của hàm số. Từ đó, ta xác định khoảng nghịch biến của hàm số. Trong hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Điểm cực đại nằm ở khoảng $(-1; 1)$ và điểm cực tiểu nằm ở khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng từ điểm cực đại đến điểm cực tiểu, tức là từ $-1$ đến $1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$. Đáp án đúng là: $D.~(-1;1)$. Câu 2. Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$, ta thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số. Phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} & \frac{a}{p}x & + \left(\frac{b - \frac{aq}{p}}{p}\right) \\ \hline px + q & ax^2 + bx + c \\ & -(ax^2 + \frac{aq}{p}x) \\ \hline & (b - \frac{aq}{p})x + c \\ & -((b - \frac{aq}{p})x + \frac{(b - \frac{aq}{p})q}{p}) \\ \hline & c - \frac{(b - \frac{aq}{p})q}{p} \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ f(x) = \frac{a}{p}x + \left(\frac{b - \frac{aq}{p}}{p}\right) + \frac{c - \frac{(b - \frac{aq}{p})q}{p}}{px + q} \] Khi $x \to \pm \infty$, phần $\frac{c - \frac{(b - \frac{aq}{p})q}{p}}{px + q}$ sẽ tiến đến 0. Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = \frac{a}{p}x + \left(\frac{b - \frac{aq}{p}}{p}\right) \] Theo đồ thị, ta thấy đường tiệm cận xiên đi qua điểm $(0, -1)$ và có hệ số góc là 1. Do đó, ta có: \[ \frac{a}{p} = 1 \quad \text{và} \quad \frac{b - \frac{aq}{p}}{p} = -1 \] Từ đây suy ra phương trình đường tiệm cận xiên là: \[ y = x - 1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~y = x - 1 \] Câu 3. Điều kiện xác định: \(2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\). Phương trình \(\log_1(2x-1)=0\) không có nghĩa vì cơ số của logarit không thể là 1. Do đó, phương trình này không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy đáp án đúng là: \[ \text{Không có nghiệm} \] Tuy nhiên, nếu có lỗi trong đề bài và cơ số của logarit là sai, chúng ta sẽ kiểm tra lại các đáp án đã cho: A. \(x = 1\): \[ 2x - 1 = 2(1) - 1 = 1 \] \[ \log_1(1) \] không có nghĩa. B. \(x = \frac{3}{4}\): \[ 2x - 1 = 2\left(\frac{3}{4}\right) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] \[ \log_1\left(\frac{1}{2}\right) \] không có nghĩa. C. \(x = \frac{2}{3}\): \[ 2x - 1 = 2\left(\frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \] \[ \log_1\left(\frac{1}{3}\right) \] không có nghĩa. D. \(x = \frac{1}{2}\): \[ 2x - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0 \] \[ \log_1(0) \] không có nghĩa. Như vậy, tất cả các đáp án đều không thỏa mãn điều kiện xác định và phương trình không có nghiệm. Đáp án: Không có nghiệm. Câu 4. Để giải bất phương trình \(2^4 \geq 8\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại các số hạng dưới dạng cùng cơ số: - Ta nhận thấy rằng \(2^4\) và \(8\) đều có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số 2. - \(2^4 = 16\) - \(8 = 2^3\) 2. So sánh hai lũy thừa: - Bất phương trình trở thành \(16 \geq 2^3\). 3. So sánh các số mũ: - Vì \(16 = 2^4\) và \(2^3 = 8\), ta có \(2^4 \geq 2^3\). - Điều này đúng vì \(4 > 3\). 4. Kết luận: - Bất phương trình \(2^4 \geq 8\) luôn đúng, nghĩa là nó không phụ thuộc vào biến \(x\). Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \(2^4 \geq 8\) là tất cả các số thực, tức là \((-\infty; +\infty)\). Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết luận trên. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong việc đặt câu hỏi hoặc các đáp án đã cho. Đáp án: Đáp án đúng là \((-\infty; +\infty)\), nhưng trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án nào đúng. Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 4 + \cos x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số: - Nguyên hàm của \( 4 \) là \( 4x \). - Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). 2. Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng: \[ \int f(x) \, dx = \int (4 + \cos x) \, dx = \int 4 \, dx + \int \cos x \, dx = 4x + \sin x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~\int f(x) \, dx = 4x + \sin x + C. \] Câu 6. Để tìm thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường \( y = e^{2x} \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) và \( x = 1 \) quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = e^{2x} \) - Giới hạn tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \) Áp dụng vào công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (e^{2x})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} e^{4x} \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\pi \int_{0}^{1} e^{4x} \, dx \]