Giải hộ e với ạ

Câu 1. Để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác SCD: - Ta biết rằng đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, nên diện tích tam giác CDA là: \[ S_{CDA} = \frac{1}{2} \times CD \times DA = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \] - Diện tích tam giác SCD có thể tính bằng công thức Heron hoặc trực tiếp nếu biết chiều cao từ S xuống CD. Tuy nhiên, ta sẽ sử dụng phương pháp khác để dễ dàng hơn. 2. Tính thể tích của khối chóp S.CDA: - Thể tích của khối chóp S.CDA là: \[ V_{S.CDA} = \frac{1}{3} \times S_{CDA} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{18} \] 3. Tính diện tích tam giác SCD: - Ta biết rằng diện tích tam giác SCD có thể tính bằng cách chia khối chóp S.CDA thành hai phần bằng nhau theo đường chéo AC. Do đó, diện tích tam giác SCD là: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \times S_{SAC} + \frac{1}{2} \times S_{SAD} \] - Diện tích tam giác SAC và SAD đều bằng nhau vì chúng có cùng chiều cao từ S và đáy là cạnh của hình vuông. Ta tính diện tích tam giác SAC: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SA = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{6} \] - Vậy diện tích tam giác SCD là: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{6} \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD): - Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là: \[ d = \frac{3 \times V_{S.CDA}}{S_{SCD}} = \frac{3 \times \frac{\sqrt{3}}{18}}{\frac{\sqrt{6}}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{6}}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7 \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là $\boxed{0.7}$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (-200 + 500, -200 + 250, 100 - 150) = (300, 50, -50)$ 2. Phương trình tham số của đường thẳng AB: Đường thẳng đi qua điểm $A(-500, -250, 150)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (300, 50, -50)$ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = -500 + 300t \\ y = -250 + 50t \\ z = 150 - 50t \end{cases} \] 3. Tìm tọa độ của điểm gần đài kiểm soát nhất: Để tìm tọa độ của điểm gần đài kiểm soát nhất, ta cần tìm giá trị của tham số $t$ sao cho khoảng cách từ điểm $(x, y, z)$ trên đường thẳng đến gốc tọa độ $(0, 0, 0)$ là nhỏ nhất. Khoảng cách này được tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Thay phương trình tham số vào công thức khoảng cách: \[ d = \sqrt{(-500 + 300t)^2 + (-250 + 50t)^2 + (150 - 50t)^2} \] Ta cần tìm giá trị của $t$ để $d$ nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ tìm đạo hàm của $d^2$ theo $t$ và đặt nó bằng 0: \[ f(t) = (-500 + 300t)^2 + (-250 + 50t)^2 + (150 - 50t)^2 \] Đạo hàm của $f(t)$: \[ f'(t) = 2(-500 + 300t) \cdot 300 + 2(-250 + 50t) \cdot 50 + 2(150 - 50t) \cdot (-50) \] \[ f'(t) = 600(-500 + 300t) + 100(-250 + 50t) - 100(150 - 50t) \] \[ f'(t) = -300000 + 180000t - 25000 + 5000t - 15000 + 5000t \] \[ f'(t) = -340000 + 190000t \] Đặt $f'(t) = 0$: \[ -340000 + 190000t = 0 \] \[ 190000t = 340000 \] \[ t = \frac{340000}{190000} = \frac{34}{19} \] 4. Tính tọa độ của điểm gần đài kiểm soát nhất: Thay $t = \frac{34}{19}$ vào phương trình tham số: \[ x = -500 + 300 \cdot \frac{34}{19} = -500 + \frac{10200}{19} = \frac{-9500 + 10200}{19} = \frac{700}{19} \] \[ y = -250 + 50 \cdot \frac{34}{19} = -250 + \frac{1700}{19} = \frac{-4750 + 1700}{19} = \frac{-3050}{19} \] \[ z = 150 - 50 \cdot \frac{34}{19} = 150 - \frac{1700}{19} = \frac{2850 - 1700}{19} = \frac{1150}{19} \] 5. Tính giá trị của biểu thức $-3a - b - c + \frac{10}{19}$: \[ -3a - b - c + \frac{10}{19} = -3 \left(\frac{700}{19}\right) - \left(\frac{-3050}{19}\right) - \left(\frac{1150}{19}\right) + \frac{10}{19} \] \[ = \frac{-2100 + 3050 - 1150 + 10}{19} = \frac{0}{19} = 0 \] Vậy giá trị của biểu thức $-3a - b - c + \frac{10}{19}$ là $\boxed{0}$. Câu 3. Để tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số thẻ và số thẻ ghi số nguyên tố: - Tổng số thẻ là 40. - Các số nguyên tố từ 1 đến 40 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. - Số lượng thẻ ghi số nguyên tố là 12. 2. Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố: - Xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố không phụ thuộc vào kết quả của lần rút đầu tiên vì việc rút không hoàn lại không ảnh hưởng đến xác suất của lần rút tiếp theo. - Do đó, xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố là: \[ P = \frac{\text{số thẻ ghi số nguyên tố}}{\text{tổng số thẻ}} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} \] Vậy xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố là $\frac{3}{10}$. Câu 4. Để tìm quãng đường máy bay đã đi được khi vận tốc tức thời đạt 400 dặm/giờ, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm thời điểm \( t \) khi vận tốc tức thời đạt 400 dặm/giờ: \[ v(t) = 30(16 - t^2) \] Đặt \( v(t) = 400 \): \[ 30(16 - t^2) = 400 \] Chia cả hai vế cho 30: \[ 16 - t^2 = \frac{400}{30} = \frac{40}{3} \] \[ 16 - t^2 = \frac{40}{3} \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 48 - 3t^2 = 40 \] \[ 3t^2 = 8 \] \[ t^2 = \frac{8}{3} \] \[ t = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \] 2. Tính quãng đường máy bay đã đi được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = \frac{2\sqrt{6}}{3} \): Quãng đường \( s \) máy bay đã đi được là tích phân của vận tốc theo thời gian: \[ s = \int_{0}^{t} v(t) \, dt = \int_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} 30(16 - t^2) \, dt \] Tính tích phân: \[ s = 30 \int_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} (16 - t^2) \, dt \] \[ s = 30 \left[ 16t - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{\frac{2\sqrt{6}}{3}} \] Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức: \[ s = 30 \left( 16 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^3}{3} \right) \] \[ s = 30 \left( \frac{32\sqrt{6}}{3} - \frac{\frac{8 \cdot 6 \sqrt{6}}{27}}{3} \right) \] \[ s = 30 \left( \frac{32\sqrt{6}}{3} - \frac{16\sqrt{6}}{27} \right) \] \[ s = 30 \left( \frac{32\sqrt{6} \cdot 9 - 16\sqrt{6}}{27} \right) \] \[ s = 30 \left( \frac{288\sqrt{6} - 16\sqrt{6}}{27} \right) \] \[ s = 30 \left( \frac{272\sqrt{6}}{27} \right) \] \[ s = \frac{8160\sqrt{6}}{27} \] \[ s \approx 640 \text{ dặm} \] Vậy, khi vận tốc tức thời đạt 400 dặm/giờ, máy bay đã đi được khoảng 640 dặm.