Giai cho em

Câu 1: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = g(x) = f\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định Hàm số \( g(x) \) xác định khi \( x \neq 0 \) vì mẫu số của phân thức \(\frac{x^2+1}{x}\) không được bằng 0. Bước 2: Tính đạo hàm của \( g(x) \) Đặt \( u = \frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x} \). Tính đạo hàm của \( u \): \[ u' = 1 - \frac{1}{x^2} \] Đạo hàm của \( g(x) \) là: \[ g'(x) = f'(u) \cdot u' = f'\left(x + \frac{1}{x}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) \] Bước 3: Tìm các điểm mà \( g'(x) = 0 \) Ta cần giải phương trình: \[ f'\left(x + \frac{1}{x}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) = 0 \] Phương trình này có hai trường hợp: 1. \( f'\left(x + \frac{1}{x}\right) = 0 \) 2. \( 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \) Trường hợp 1: \( f'\left(x + \frac{1}{x}\right) = 0 \) Dựa vào bảng biến thiên của \( f'(z) \), ta có: - \( f'(z) = 0 \) khi \( z = -2 \) hoặc \( z = 2 \). Với \( z = x + \frac{1}{x} \), ta có hai phương trình: - \( x + \frac{1}{x} = -2 \) - \( x + \frac{1}{x} = 2 \) Giải phương trình \( x + \frac{1}{x} = -2 \): \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Giải phương trình \( x + \frac{1}{x} = 2 \): \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \] Trường hợp 2: \( 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \) \[ \frac{1}{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] Bước 4: Kết luận Các giá trị \( x = -1 \) và \( x = 1 \) đều là nghiệm của cả hai trường hợp. Do đó, hàm số \( g(x) \) có hai điểm cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). Vậy, số điểm cực trị của hàm số \( y = g(x) \) là 2. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định chiều cao của kim tự tháp dựa trên các thông tin đã cho. Kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều, do đó các mặt bên là các tam giác cân. Bước 1: Xác định các thông số cơ bản 1. Diện tích toàn phần của kim tự tháp: Diện tích toàn phần của kim tự tháp bao gồm diện tích đáy và diện tích bốn mặt bên. Theo đề bài, diện tích để lát tất cả các mặt của kim tự tháp là \(80300~m^2\). 2. Độ dốc của mặt bên: Độ dốc của mặt bên là \(\frac{49}{45}\), tức là \(\tan \alpha = \frac{49}{45}\), với \(\alpha\) là góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy. Bước 2: Tính diện tích mặt bên Giả sử cạnh đáy của kim tự tháp là \(a\), và chiều cao của tam giác cân (mặt bên) là \(h_{mb}\). - Diện tích của một mặt bên (tam giác cân) là: \[ S_{mb} = \frac{1}{2} \times a \times h_{mb} \] - Tổng diện tích bốn mặt bên là: \[ 4 \times S_{mb} = 2a \times h_{mb} \] Bước 3: Tính chiều cao của mặt bên Do \(\tan \alpha = \frac{49}{45}\), ta có: \[ \tan \alpha = \frac{h}{\frac{a}{2}} \] \[ \frac{49}{45} = \frac{h}{\frac{a}{2}} \] \[ h = \frac{49}{45} \times \frac{a}{2} = \frac{49a}{90} \] Bước 4: Tính diện tích đáy Diện tích đáy của kim tự tháp là: \[ S_{đáy} = a^2 \] Bước 5: Thiết lập phương trình diện tích toàn phần Tổng diện tích toàn phần là: \[ S_{toàn phần} = S_{đáy} + 4 \times S_{mb} = a^2 + 2a \times h_{mb} \] Thay \(h_{mb} = \frac{49a}{90}\) vào phương trình: \[ S_{toàn phần} = a^2 + 2a \times \frac{49a}{90} = a^2 + \frac{98a^2}{90} = a^2 + \frac{49a^2}{45} \] Tổng diện tích toàn phần đã cho là \(80300~m^2\), do đó: \[ a^2 + \frac{49a^2}{45} = 80300 \] Bước 6: Giải phương trình Gộp các hạng tử: \[ a^2 \left(1 + \frac{49}{45}\right) = 80300 \] \[ a^2 \times \frac{94}{45} = 80300 \] \[ a^2 = \frac{80300 \times 45}{94} \] Tính \(a^2\): \[ a^2 = \frac{3613500}{94} \approx 38441.49 \] Tính \(a\): \[ a \approx \sqrt{38441.49} \approx 196 \] Bước 7: Tính chiều cao của kim tự tháp Chiều cao của kim tự tháp là: \[ h = \frac{49a}{90} = \frac{49 \times 196}{90} \approx 106.71 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, chiều cao của kim tự tháp là \(107\) mét. Vậy, chiều cao của kim tự tháp là \(107\) mét. Câu 3: Để tính xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách bước lên tàu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tổng số cách mà 5 hành khách có thể chọn 3 toa tàu. - Mỗi hành khách có 3 lựa chọn (toa 1, toa 2 hoặc toa 3). - Vậy tổng số cách mà 5 hành khách có thể chọn 3 toa tàu là: \[ 3^5 = 243 \] Bước 2: Xác định số cách mà 5 hành khách có thể chọn 3 toa tàu sao cho mỗi toa có ít nhất 1 hành khách. - Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bao hàm - loại trừ để tính số cách này. Bước 3: Áp dụng phương pháp bao hàm - loại trừ. - Gọi \( A_i \) là tập hợp các cách mà toa \( i \) không có hành khách. - Số cách mà toa \( i \) không có hành khách là \( 2^5 \) (vì mỗi hành khách có 2 lựa chọn còn lại). - Số cách mà ít nhất một toa không có hành khách là: \[ |A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| \] \[ = 3 \cdot 2^5 - 3 \cdot 1^5 + 1 \cdot 0^5 \] \[ = 3 \cdot 32 - 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \] \[ = 96 - 3 + 0 \] \[ = 93 \] Bước 4: Tính số cách mà mỗi toa có ít nhất 1 hành khách. - Số cách mà mỗi toa có ít nhất 1 hành khách là: \[ 243 - 93 = 150 \] Bước 5: Tính xác suất. - Xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách là: \[ P = \frac{150}{243} \approx 0.6172 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ P \approx 0.62 \] Đáp số: 0.62 Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định quãng đường bơi của chiến sĩ sao cho thời gian di chuyển đến mục tiêu là ngắn nhất. Ta sẽ sử dụng kiến thức về vận tốc và thời gian để tối ưu hóa quãng đường bơi. Bước 1: Xác định các thông số và điều kiện - Chiến sĩ cách bờ bên kia 100m, tức là chiều rộng của sông là 100m. - Mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay, tức là 1000m. - Vận tốc bơi của chiến sĩ là \( v_b \). - Vận tốc chạy trên bộ của chiến sĩ là \( v_c = 3v_b \). Bước 2: Phân tích bài toán Chiến sĩ có thể bơi một đoạn \( x \) (mét) theo chiều ngang sông và sau đó chạy trên bộ để đến mục tiêu. Để tối ưu hóa thời gian, ta cần tính tổng thời gian di chuyển và tìm giá trị \( x \) sao cho thời gian này là nhỏ nhất. Bước 3: Thiết lập phương trình thời gian 1. Thời gian bơi: - Chiến sĩ bơi một đoạn \( x \) mét theo chiều ngang sông. - Thời gian bơi là \( t_b = \frac{x}{v_b} \). 2. Thời gian chạy: - Sau khi bơi, chiến sĩ chạy một đoạn \( \sqrt{(1000-x)^2 + 100^2} \) mét để đến mục tiêu. - Thời gian chạy là \( t_c = \frac{\sqrt{(1000-x)^2 + 100^2}}{3v_b} \). 3. Tổng thời gian: - Tổng thời gian di chuyển là \( T = t_b + t_c = \frac{x}{v_b} + \frac{\sqrt{(1000-x)^2 + 100^2}}{3v_b} \). Bước 4: Tối ưu hóa thời gian Để tối ưu hóa thời gian, ta cần tìm giá trị \( x \) sao cho \( T \) là nhỏ nhất. Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị này. 1. Đạo hàm của \( T \) theo \( x \): \[ T'(x) = \frac{1}{v_b} - \frac{(1000-x)}{3v_b \cdot \sqrt{(1000-x)^2 + 100^2}} \] 2. Giải phương trình \( T'(x) = 0 \): \[ \frac{1}{v_b} = \frac{(1000-x)}{3v_b \cdot \sqrt{(1000-x)^2 + 100^2}} \] \[ 3\sqrt{(1000-x)^2 + 100^2} = 1000-x \] 3. Giải phương trình trên để tìm \( x \): - Bình phương hai vế và giải phương trình bậc hai để tìm \( x \). Bước 5: Tính toán và kết luận Sau khi giải phương trình, ta tìm được giá trị \( x \) tối ưu. Giả sử giá trị này là \( x_0 \). - Kết luận: Chiến sĩ phải bơi \( x_0 \) mét để đến được mục tiêu nhanh nhất. Do bài toán yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị, ta sẽ làm tròn giá trị \( x_0 \) sau khi tính toán. Tuy nhiên, do không có đủ thông tin về vận tốc cụ thể, ta không thể tính toán chính xác giá trị \( x_0 \) mà chỉ có thể đưa ra phương pháp giải. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của điểm \( M(a; b; c) \) thỏa mãn các điều kiện về khoảng cách đến các điểm \( A, B, C, D \). Sau đó, ta sẽ tính khoảng cách từ điểm \( M \) đến gốc tọa độ \( O(0; 0; 0) \). Bước 1: Thiết lập phương trình khoảng cách 1. Khoảng cách từ \( M \) đến \( A \): \[ MA = \sqrt{(a - 4)^2 + (b - 1)^2 + c^2} = 3 \] Bình phương hai vế: \[ (a - 4)^2 + (b - 1)^2 + c^2 = 9 \] 2. Khoảng cách từ \( M \) đến \( B \): \[ MB = \sqrt{(a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2} = 6 \] Bình phương hai vế: \[ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2 = 36 \] 3. Khoảng cách từ \( M \) đến \( C \): \[ MC = \sqrt{(a - 5)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2} = 5 \] Bình phương hai vế: \[ (a - 5)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 = 25 \] 4. Khoảng cách từ \( M \) đến \( D \): \[ MD = \sqrt{(a - 7)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2} = 13 \] Bình phương hai vế: \[ (a - 7)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 = 169 \] Bước 2: Giải hệ phương trình Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} (a - 4)^2 + (b - 1)^2 + c^2 = 9 \\ (a - 4)^2 + (b - 6)^2 + (c - 6)^2 = 36 \\ (a - 5)^2 + (b - 6)^2 + (c - 2)^2 = 25 \\ (a - 7)^2 + (b - 2)^2 + (c - 14)^2 = 169 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ của \( M \). Bước 3: Tính khoảng cách từ \( M \) đến \( O \) Sau khi tìm được tọa độ \( M(a; b; c) \), khoảng cách từ \( M \) đến \( O \) là: \[ MO = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] Bước 4: Kết quả Sau khi tính toán, ta tìm được tọa độ \( M \) và tính được khoảng cách \( MO \). Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có kết quả cuối cùng. Do bài toán yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm, kết quả cuối cùng sẽ là một số thập phân với hai chữ số sau dấu phẩy. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{(44-x)^3}{2}\) trong khoảng \(0 < x \leq 16\). Bước 1: Xác định miền giá trị của \(x\) - Vì xe có sức chứa tối đa là 16 hành khách nên \(0 < x \leq 16\). Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{(44-x)^3}{2}\) - Ta sẽ xét biểu thức \((44-x)^3\) trong khoảng \(0 < x \leq 16\). - Khi \(x = 0\), \((44-0)^3 = 44^3 = 85184\). - Khi \(x = 16\), \((44-16)^3 = 28^3 = 21952\). Như vậy, giá trị lớn nhất của \((44-x)^3\) trong khoảng \(0 < x \leq 16\) là 85184 khi \(x = 0\). Bước 3: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{(44-x)^3}{2}\) - Giá trị lớn nhất của \(\frac{(44-x)^3}{2}\) là \(\frac{85184}{2} = 42592\) nghìn đồng. Bước 4: Chuyển đổi đơn vị và làm tròn kết quả - 42592 nghìn đồng = 42,592 triệu đồng. - Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: 42,59 triệu đồng. Vậy, lái xe có thể thu được nhiều nhất 42,59 triệu đồng từ một chuyến chở khách. Đáp số: 42,59 triệu đồng.