Giai cho em

Câu 2: Để so sánh các lớp 11A và 11B theo yêu cầu, chúng ta sẽ tính toán các đại lượng thống kê như điểm trung bình, độ lệch chuẩn và phương sai. Bước 1: Tính điểm trung bình của mỗi lớp Lớp 11A: - Số học sinh trong mỗi khoảng điểm: - [5;6): 1 - [6;7): 0 - [7;8): 11 - [8;9): 2 - [9;10): 6 Tổng số học sinh: \(1 + 0 + 11 + 2 + 6 = 20\) Giá trị trung bình của mỗi khoảng điểm: - [5;6): 5.5 - [6;7): 6.5 - [7;8): 7.5 - [8;9): 8.5 - [9;10): 9.5 Tổng điểm của lớp 11A: \[ 1 \times 5.5 + 0 \times 6.5 + 11 \times 7.5 + 2 \times 8.5 + 6 \times 9.5 \] \[ = 5.5 + 0 + 82.5 + 17 + 57 \] \[ = 162 \] Điểm trung bình của lớp 11A: \[ \text{Trung bình} = \frac{162}{20} = 8.1 \] Lớp 11B: - Số học sinh trong mỗi khoảng điểm: - [5;6): 0 - [6;7): 6 - [7;8): 8 - [8;9): 14 - [9;10): 12 Tổng số học sinh: \(0 + 6 + 8 + 14 + 12 = 40\) Giá trị trung bình của mỗi khoảng điểm: - [5;6): 5.5 - [6;7): 6.5 - [7;8): 7.5 - [8;9): 8.5 - [9;10): 9.5 Tổng điểm của lớp 11B: \[ 0 \times 5.5 + 6 \times 6.5 + 8 \times 7.5 + 14 \times 8.5 + 12 \times 9.5 \] \[ = 0 + 39 + 60 + 119 + 114 \] \[ = 332 \] Điểm trung bình của lớp 11B: \[ \text{Trung bình} = \frac{332}{40} = 8.3 \] Bước 2: Tính phương sai và độ lệch chuẩn Lớp 11A: - Tổng số học sinh: 20 - Điểm trung bình: 8.1 Phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{1}{20} \left( 1 \times (5.5 - 8.1)^2 + 0 \times (6.5 - 8.1)^2 + 11 \times (7.5 - 8.1)^2 + 2 \times (8.5 - 8.1)^2 + 6 \times (9.5 - 8.1)^2 \right) \] \[ = \frac{1}{20} \left( 1 \times (-2.6)^2 + 0 \times (-1.6)^2 + 11 \times (-0.6)^2 + 2 \times (0.4)^2 + 6 \times (1.4)^2 \right) \] \[ = \frac{1}{20} \left( 1 \times 6.76 + 0 + 11 \times 0.36 + 2 \times 0.16 + 6 \times 1.96 \right) \] \[ = \frac{1}{20} \left( 6.76 + 0 + 3.96 + 0.32 + 11.76 \right) \] \[ = \frac{1}{20} \left( 22.8 \right) \] \[ = 1.14 \] Độ lệch chuẩn: \[ \sigma = \sqrt{1.14} \approx 1.07 \] Lớp 11B: - Tổng số học sinh: 40 - Điểm trung bình: 8.3 Phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{1}{40} \left( 0 \times (5.5 - 8.3)^2 + 6 \times (6.5 - 8.3)^2 + 8 \times (7.5 - 8.3)^2 + 14 \times (8.5 - 8.3)^2 + 12 \times (9.5 - 8.3)^2 \right) \] \[ = \frac{1}{40} \left( 0 + 6 \times (-1.8)^2 + 8 \times (-0.8)^2 + 14 \times (0.2)^2 + 12 \times (1.2)^2 \right) \] \[ = \frac{1}{40} \left( 0 + 6 \times 3.24 + 8 \times 0.64 + 14 \times 0.04 + 12 \times 1.44 \right) \] \[ = \frac{1}{40} \left( 0 + 19.44 + 5.12 + 0.56 + 17.28 \right) \] \[ = \frac{1}{40} \left( 42.4 \right) \] \[ = 1.06 \] Độ lệch chuẩn: \[ \sigma = \sqrt{1.06} \approx 1.03 \] Kết luận: - Điểm trung bình của lớp 11A là 8.1 và của lớp 11B là 8.3. - Độ lệch chuẩn của lớp 11A là 1.07 và của lớp 11B là 1.03. - Phương sai của lớp 11B là 1.06. Do đó, các khẳng định đúng là: - a) So sánh theo độ lệch chuẩn thì các học sinh lớp 11A học đồng đều hơn lớp 11B. - c) Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là 1.05 (làm tròn đến hàng phần trăm). Các khẳng định sai là: - b) Điểm trung bình của lớp 11A nhỏ hơn lớp 11B. - d) Điểm trung bình của lớp 11A là 8.3 (làm tròn đến hàng phần chục). Câu 3: a) Đúng vì \(\cos2x=-\frac12=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\). b) Đúng vì \(\cos2x=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\). Thay \(k=1\) ta được nghiệm dương nhỏ nhất \(x=\frac{5\pi}{6}\). c) Sai vì các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0;\pi)\) là \(x=\frac{5\pi}{6}\) và \(x=\frac{\pi}{3}\). Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0;\pi)\) là \(\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}\). d) Sai vì trong khoảng \((0;\pi)\) phương trình có hai nghiệm là \(x=\frac{5\pi}{6}\) và \(x=\frac{\pi}{3}\). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Tọa độ điểm \( M \) - Tâm \( O \) của hình lập phương có tọa độ \((\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\). - Tâm \( I \) của hình vuông \( A'B'C'D' \) có tọa độ \((\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)\). Điểm \( M \) thuộc đoạn \( OI \) sao cho \( MO = \frac{1}{2} MI \). Gọi \( M(x, y, z) \), ta có: - \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OI}\). Tính \(\overrightarrow{OI} = (0, 0, -\frac{1}{2})\). Vậy: \[ \overrightarrow{OM} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{3}(0, 0, -\frac{1}{2}) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) \] Do đó, tọa độ của \( M \) là \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)\). b) Tọa độ các điểm - \( A'(0, 0, 0) \) - \( B'(1, 0, 0) \) - \( D'(0, 1, 0) \) - \( A(0, 0, 1) \) c) Tọa độ điểm \( P \) và \( Q \) - \(\overrightarrow{A'P} = \overrightarrow{A'B'} + 2\overrightarrow{A'D'} - 2\overrightarrow{A'A}\) Tính: \[ \overrightarrow{A'B'} = (1, 0, 0), \quad \overrightarrow{A'D'} = (0, 1, 0), \quad \overrightarrow{A'A} = (0, 0, 1) \] Vậy: \[ \overrightarrow{A'P} = (1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) - 2(0, 0, 1) = (1, 2, -2) \] Tọa độ \( P(1, 2, -2) \). - \(\overrightarrow{A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow{A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow{A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow{A'A}\) Tính: \[ \overrightarrow{A'Q} = \frac{8}{3}(1, 0, 0) + \frac{4}{3}(0, 1, 0) + \frac{8}{3}(0, 0, 1) = \left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right) \] Tọa độ \( Q\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right) \). - Tâm đường tròn nội tiếp \( J(a, b, c) \) của tam giác \( A'PQ \). Sử dụng công thức trọng tâm: \[ a = \frac{0 + 1 + \frac{8}{3}}{3}, \quad b = \frac{0 + 2 + \frac{4}{3}}{3}, \quad c = \frac{0 - 2 + \frac{8}{3}}{3} \] Tính: \[ a = \frac{11}{9}, \quad b = \frac{10}{9}, \quad c = \frac{2}{9} \] Vậy \( a - b + c = \frac{11}{9} - \frac{10}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \). d) Tìm điểm \( N \) Điểm \( N \) sao cho \(\widehat{ANB'} = \widehat{B'ND'} = \widehat{D'NA} = 90^\circ\). Điều này có nghĩa là \( N \) là trực tâm của tam giác \( AB'D' \). Tọa độ của \( N \) là giao điểm của các đường cao của tam giác \( AB'D' \). Tính toán chi tiết hơn có thể cần đến phương pháp hình học không gian hoặc sử dụng vector để tìm ra tọa độ chính xác của \( N \). Vì bài toán yêu cầu chỉ ra rằng có đúng 2 điểm \( N \), ta cần kiểm tra các điều kiện hình học để xác định các điểm này. Kết luận Bài toán yêu cầu nhiều bước tính toán và suy luận hình học. Các bước trên đã giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết.