giúp em với ạ

Câu 3. a) Ta có phương trình đường tròn $(C_1)$ có tâm $I(1;2)$ và đi qua điểm $A(-1;-1)$ là: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = R^2$ Ta tính bán kính $R$ bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $A$: $R = IA = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ Vậy phương trình đường tròn $(C_1)$ là: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 13$ b) Ta có phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;1)$ và bán kính $R=4$ là: $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 16$ c) Để kiểm tra điểm $A(-1;-1)$ có nằm trên đường tròn $(C)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình của đường tròn $(C)$: $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 16$ $((-1)-3)^2 + ((-1)-1)^2 = 16$ $(-4)^2 + (-2)^2 = 16$ $16 + 4 = 16$ $20 \neq 16$ Vậy điểm $A(-1;-1)$ không nằm trên đường tròn $(C)$. d) Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A(-1;-1)$, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến này. Ta biết rằng vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là vectơ chỉ phương từ tâm $I$ đến điểm tiếp xúc $A$. Ta tính vectơ $\overrightarrow{IA}$: $\overrightarrow{IA} = (-1 - 3, -1 - 1) = (-4, -2)$ Vì vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4, 0)$, ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{IA}$ không trùng với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$. Do đó, ta cần tìm lại vectơ pháp tuyến đúng của tiếp tuyến. Ta có phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(-1;-1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (4, 0)$ là: $4(x + 1) + 0(y + 1) = 0$ $4x + 4 = 0$ $x = -1$ Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A(-1;-1)$ là: $x = -1$ Đáp số: a) $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 13$ b) $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 16$ c) Điểm $A(-1;-1)$ không nằm trên đường tròn $(C)$. d) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A(-1;-1)$ là $x = -1$. Câu 4. Để khai triển biểu thức \((x + \frac{1}{x})^4\), ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho phép ta khai triển \((a + b)^n\) dưới dạng: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \(a = x\), \(b = \frac{1}{x}\), và \(n = 4\). Ta áp dụng công thức: \[ (x + \frac{1}{x})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k \] Ta sẽ tính từng số hạng: - Khi \(k = 0\): \[ \binom{4}{0} x^{4-0} \left(\frac{1}{x}\right)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4 \] - Khi \(k = 1\): \[ \binom{4}{1} x^{4-1} \left(\frac{1}{x}\right)^1 = 4 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{x} = 4x^2 \] - Khi \(k = 2\): \[ \binom{4}{2} x^{4-2} \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 6 \] - Khi \(k = 3\): \[ \binom{4}{3} x^{4-3} \left(\frac{1}{x}\right)^3 = 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{4}{x^2} \] - Khi \(k = 4\): \[ \binom{4}{4} x^{4-4} \left(\frac{1}{x}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \] Vậy khai triển của \((x + \frac{1}{x})^4\) là: \[ (x + \frac{1}{x})^4 = x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4} \] Bây giờ, ta kiểm tra từng phát biểu: a) Hệ số của \(x^2\) là 4, không phải \(\frac{1}{4}\). b) Số hạng không chứa \(x\) là 6. c) Biểu thức sau khi khai triển có 5 số hạng, không phải 4. d) Tổng các hệ số sau khi khai triển là \(1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16\). Vậy các phát biểu đúng là: - b) Số hạng không chứa \(x\) là 6. - d) Tổng các hệ số sau khi khai triển bằng 16. Đáp án: b) và d). Câu 1. Để tính xác suất để rút được 2 quân bài khác màu từ bộ bài tây gồm 52 quân bài, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách rút 2 quân bài từ bộ bài tây: - Bộ bài tây có 52 quân bài. - Số cách rút 2 quân bài từ 52 quân bài là: \[ C_{52}^2 = \frac{52!}{2!(52-2)!} = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326 \] 2. Tìm số cách rút 2 quân bài khác màu: - Mỗi bộ bài tây có 26 quân bài đen (♠️ và ♣️) và 26 quân bài đỏ (♥️ và ♦️). - Để rút được 2 quân bài khác màu, chúng ta có thể rút 1 quân bài đen và 1 quân bài đỏ. - Số cách rút 1 quân bài đen từ 26 quân bài đen là: \[ C_{26}^1 = 26 \] - Số cách rút 1 quân bài đỏ từ 26 quân bài đỏ là: \[ C_{26}^1 = 26 \] - Vậy số cách rút 2 quân bài khác màu là: \[ 26 \times 26 = 676 \] 3. Tính xác suất để rút được 2 quân bài khác màu: - Xác suất để rút được 2 quân bài khác màu là: \[ P(\text{khác màu}) = \frac{\text{số cách rút 2 quân bài khác màu}}{\text{tổng số cách rút 2 quân bài}} = \frac{676}{1326} \] - Rút gọn phân số: \[ \frac{676}{1326} = \frac{338}{663} \] Vậy xác suất để rút được 2 quân bài khác màu là $\frac{338}{663}$. Câu 2. Để tìm phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1; -2)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta: 3x - 2y + 1 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(3x - 2y + 1 = 0\). Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(y = mx + n\): \[ -2y = -3x - 1 \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \] Vậy hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\) là \(m_{\Delta} = \frac{3}{2}\). 2. Tìm hệ số góc của đường thẳng \(d\): Vì đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), nên tích của hai hệ số góc bằng \(-1\): \[ m_d \cdot m_{\Delta} = -1 \implies m_d \cdot \frac{3}{2} = -1 \implies m_d = -\frac{2}{3} \] 3. Viết phương trình đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1; -2)\) và có hệ số góc \(m_d = -\frac{2}{3}\). Ta sử dụng công thức tìm phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Thay \(x_1 = 1\), \(y_1 = -2\), và \(m = -\frac{2}{3}\): \[ y + 2 = -\frac{2}{3}(x - 1) \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số: \[ 3(y + 2) = -2(x - 1) \implies 3y + 6 = -2x + 2 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 2x + 3y + 6 - 2 = 0 \implies 2x + 3y + 4 = 0 \] 4. Tìm giá trị của \(P = a + b + c\): Phương trình đường thẳng \(d\) là \(2x + 3y + 4 = 0\). So sánh với dạng tổng quát \(ax + by + c = 0\), ta có: \[ a = 2, \quad b = 3, \quad c = 4 \] Vậy: \[ P = a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9 \] Đáp số: \(P = 9\). Câu 3. Trước tiên, ta cần xác định bán trục lớn \(a\) và bán tiêu cự \(c\) của elip. Khoảng cách nhỏ nhất giữa mặt trời và trái đất là 147 triệu km, và khoảng cách lớn nhất là 152 triệu km. Ta có thể hiểu rằng khoảng cách nhỏ nhất này là khoảng cách từ tâm elip đến một đỉnh của elip (tức là \(a - c\)), và khoảng cách lớn nhất là khoảng cách từ tâm elip đến đỉnh đối diện (tức là \(a + c\)). Do đó, ta có: \[ a - c = 147 \text{ triệu km} \] \[ a + c = 152 \text{ triệu km} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm \(a\) và \(c\). Cộng hai phương trình lại: \[ (a - c) + (a + c) = 147 + 152 \] \[ 2a = 299 \] \[ a = \frac{299}{2} = 149.5 \text{ triệu km} \] Tiếp theo, ta tìm \(c\) bằng cách thay \(a\) vào một trong hai phương trình ban đầu: \[ a - c = 147 \] \[ 149.5 - c = 147 \] \[ c = 149.5 - 147 = 2.5 \text{ triệu km} \] Tâm sai \(e\) của elip được tính bằng công thức: \[ e = \frac{c}{a} \] Thay \(c\) và \(a\) vào công thức: \[ e = \frac{2.5}{149.5} \approx 0.0167 \] Vậy tâm sai của elip (E) là: \[ e \approx 0.0167 \] Đáp số: \( e \approx 0.0167 \) Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp sắp xếp các phần tử trong tổ hợp. Bước 1: Xác định điều kiện. - A phải đứng đầu hàng. Bước 2: Xác định số cách sắp xếp còn lại. - Sau khi A đã đứng đầu, chúng ta còn lại 5 người: B, C, D, E, F. Bước 3: Tính số cách sắp xếp 5 người còn lại. - Số cách sắp xếp 5 người là 5! (5 nhân giai thừa). Ta có: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Vậy, số cách sắp xếp 6 người sao cho A đứng đầu hàng là 120 cách. Đáp số: 120 cách. Câu 5. Đầu tiên, ta viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(3;-1)$ và $B(0;3)$. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ là: \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \] Áp dụng vào điểm $A(3, -1)$ và $B(0, 3)$: \[ y + 1 = \frac{3 + 1}{0 - 3} (x - 3) \] \[ y + 1 = \frac{4}{-3} (x - 3) \] \[ y + 1 = -\frac{4}{3} (x - 3) \] \[ y + 1 = -\frac{4}{3}x + 4 \] \[ y = -\frac{4}{3}x + 3 \] Phương trình đường thẳng AB là: \[ y = -\frac{4}{3}x + 3 \] Tiếp theo, ta cần tìm tọa độ của điểm M trên trục hoành, tức là tọa độ của M có dạng $(x_M, 0)$. Ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó, $(x_1, y_1)$ là tọa độ của điểm M, và $ax + by + c = 0$ là phương trình đường thẳng AB. Phương trình đường thẳng AB có thể viết lại dưới dạng: \[ 4x + 3y - 9 = 0 \] Áp dụng công thức khoảng cách: \[ 1 = \frac{|4x_M + 3 \cdot 0 - 9|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \] \[ 1 = \frac{|4x_M - 9|}{5} \] \[ |4x_M - 9| = 5 \] Ta có hai trường hợp: 1. \( 4x_M - 9 = 5 \) \[ 4x_M = 14 \] \[ x_M = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \] 2. \( 4x_M - 9 = -5 \) \[ 4x_M = 4 \] \[ x_M = 1 \] Tổng giá trị hoành độ của điểm M là: \[ \frac{7}{2} + 1 = \frac{7}{2} + \frac{2}{2} = \frac{9}{2} \] Đáp số: $\frac{9}{2}$ Câu 6. Để tính xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số chẵn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số kết quả có thể xảy ra: - Mỗi hộp có 5 tấm thẻ, do đó khi rút từ mỗi hộp một tấm thẻ, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 5 \times 5 = 25 \] 2. Xác định số kết quả thuận lợi: - Mỗi hộp có 2 tấm thẻ ghi số chẵn (là 2 và 4). Do đó, khi rút từ mỗi hộp một tấm thẻ, số kết quả thuận lợi (cả hai thẻ đều ghi số chẵn) là: \[ 2 \times 2 = 4 \] 3. Tính xác suất: - Xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số chẵn là: \[ \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{4}{25} \] Vậy xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số chẵn là $\frac{4}{25}$. Câu 1. Để tìm số giao điểm tối đa của 12 đường thẳng, ta có thể áp dụng công thức sau: Số giao điểm tối đa của n đường thẳng là: \[ \frac{n(n-1)}{2} \] Trong trường hợp này, n = 12. Ta thay n = 12 vào công thức: \[ \frac{12(12-1)}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = \frac{132}{2} = 66 \] Vậy, mười hai đường thẳng có nhiều nhất 66 giao điểm. Đáp án đúng là: B. 66. Câu 2. Ta sẽ khai triển nhị thức $(2x + y)^5$ bằng công thức nhị thức Newton. Công thức khai triển nhị thức Newton là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong đó $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Áp dụng công thức này cho $(2x + y)^5$, ta có: \[ (2x + y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} y^k \] Ta sẽ tính từng hạng tử một: - Khi $k = 0$: \[ \binom{5}{0} (2x)^{5-0} y^0 = 1 \cdot (2x)^5 \cdot 1 = 32x^5 \] - Khi $k = 1$: \[ \binom{5}{1} (2x)^{5-1} y^1 = 5 \cdot (2x)^4 \cdot y = 5 \cdot 16x^4 \cdot y = 80x^4y \] - Khi $k = 2$: \[ \binom{5}{2} (2x)^{5-2} y^2 = 10 \cdot (2x)^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot y^2 = 80x^3y^2 \] - Khi $k = 3$: \[ \binom{5}{3} (2x)^{5-3} y^3 = 10 \cdot (2x)^2 \cdot y^3 = 10 \cdot 4x^2 \cdot y^3 = 40x^2y^3 \] - Khi $k = 4$: \[ \binom{5}{4} (2x)^{5-4} y^4 = 5 \cdot (2x)^1 \cdot y^4 = 5 \cdot 2x \cdot y^4 = 10xy^4 \] - Khi $k = 5$: \[ \binom{5}{5} (2x)^{5-5} y^5 = 1 \cdot (2x)^0 \cdot y^5 = 1 \cdot 1 \cdot y^5 = y^5 \] Gộp tất cả các hạng tử lại, ta được: \[ (2x + y)^5 = 32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^5 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^5 \] Câu 3. Để tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x+4}$, ta cần đảm bảo rằng các thành phần trong biểu thức đều có nghĩa. 1. Phân tích căn thức $\sqrt{x-1}$: - Căn thức $\sqrt{x-1}$ có nghĩa khi $x-1 \geq 0$. - Điều này dẫn đến $x \geq 1$. 2. Phân tích phân thức $\frac{1}{x+4}$: - Phân thức $\frac{1}{x+4}$ có nghĩa khi mẫu số khác 0, tức là $x + 4 \neq 0$. - Điều này dẫn đến $x \neq -4$. 3. Tổng hợp điều kiện: - Từ hai điều kiện trên, ta có: - $x \geq 1$ - $x \neq -4$ Do $x \geq 1$ đã bao gồm tất cả các giá trị lớn hơn hoặc bằng 1, và $x \neq -4$ không ảnh hưởng đến tập xác định vì $-4 < 1$. Vậy tập xác định của hàm số là $[1; +\infty)$. Đáp án: D. $[1; +\infty)$ Câu 4. Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ Theo quy tắc tam giác trong đại lượng vectơ, tổng của hai vectơ liên tiếp là vectơ từ điểm đầu của vectơ đầu tiên đến điểm cuối của vectơ thứ hai. Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ là đúng. B. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$ Theo quy tắc trừ vectơ, $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$. Vì vậy, $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$ là sai. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$ Theo quy tắc tam giác, tổng của ba vectơ tạo thành một vòng khép kín là vectơ null. Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$ là đúng. D. $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$ Theo quy tắc đối của vectơ, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai vectơ ngược chiều và có cùng độ dài, do đó $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$ là đúng. Vậy đẳng thức sai là: B. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$ Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các nghiệm của phương trình \(x^2 - x + 1 = 0\). Bước 1: Xác định phương trình bậc hai. Phương trình đã cho là \(x^2 - x + 1 = 0\). Bước 2: Tính delta (\(\Delta\)). \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Trong đó, \(a = 1\), \(b = -1\), và \(c = 1\). Thay vào công thức: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của delta. \[ \Delta = -3 < 0 \] Khi delta nhỏ hơn 0, phương trình bậc hai không có nghiệm thực. Bước 4: Kết luận tập hợp \(X\). Vì phương trình \(x^2 - x + 1 = 0\) không có nghiệm thực, nên tập hợp \(X\) là tập rỗng. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~X = \emptyset \] Câu 6. Để tính số phần tử của biến cố A, ta cần tìm số cách chọn 4 viên bi sao cho trong đó có đúng 2 viên bi màu trắng. Bước 1: Chọn 2 viên bi trắng từ 10 viên bi trắng. Số cách chọn 2 viên bi trắng từ 10 viên bi trắng là: \[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \] Bước 2: Chọn 2 viên bi từ các viên bi còn lại (6 viên bi đỏ + 8 viên bi xanh = 14 viên bi). Số cách chọn 2 viên bi từ 14 viên bi còn lại là: \[ C_{14}^2 = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 91 \] Bước 3: Tính tổng số cách chọn 4 viên bi sao cho trong đó có đúng 2 viên bi màu trắng. Số cách chọn 4 viên bi có đúng 2 viên bi màu trắng là: \[ n(A) = C_{10}^2 \times C_{14}^2 = 45 \times 91 = 4095 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~n(A)=4095 \]