giải bài tập

Câu 14. Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ áp dụng các tính chất của lôgarit và hàm mũ. A. $\log_a1=0$ - Đây là tính chất cơ bản của lôgarit: Lôgarit của 1 với bất kỳ cơ số nào đều bằng 0. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $\log_aa^a=a$ - Áp dụng tính chất lôgarit $\log_a(a^x) = x$, ta có $\log_aa^a = a$. Do đó, mệnh đề này đúng. C. $\log_aa=2a$ - Áp dụng tính chất lôgarit $\log_a(a) = 1$, ta có $\log_aa = 1$. Do đó, mệnh đề này sai vì $\log_aa$ không thể bằng $2a$ trừ khi $a = \frac{1}{2}$, nhưng điều này không phải lúc nào cũng đúng. D. $a^{\log_ab}=b$ - Áp dụng tính chất hàm mũ và lôgarit $a^{\log_ab} = b$, ta thấy rằng mệnh đề này đúng. Như vậy, mệnh đề sai là: C. $\log_aa=2a$ Đáp án: C. $\log_aa=2a$ Câu 15. Để xác định hàm số \( y = f(x) \) từ đồ thị, chúng ta cần kiểm tra các tính chất của hàm số và so sánh với các hàm số đã cho. 1. Kiểm tra tính chất của hàm số: - Đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) đi qua điểm (0, 1). Điều này có nghĩa là \( f(0) = 1 \). - Đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) tăng khi \( x \) tăng. 2. So sánh với các hàm số đã cho: - \( A.~y = 3^x \) - \( 3^0 = 1 \) (đi qua điểm (0, 1)) - \( 3^x \) là hàm số tăng khi \( x \) tăng. - \( B.~y = 2^x \) - \( 2^0 = 1 \) (đi qua điểm (0, 1)) - \( 2^x \) là hàm số tăng khi \( x \) tăng. - \( C.~y = 4^x \) - \( 4^0 = 1 \) (đi qua điểm (0, 1)) - \( 4^x \) là hàm số tăng khi \( x \) tăng. - \( D.~y = 5^x \) - \( 5^0 = 1 \) (đi qua điểm (0, 1)) - \( 5^x \) là hàm số tăng khi \( x \) tăng. 3. Xác định hàm số đúng: - Để xác định chính xác hàm số, chúng ta cần kiểm tra thêm các điểm khác trên đồ thị. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, tất cả các hàm số \( y = 3^x \), \( y = 2^x \), \( y = 4^x \), và \( y = 5^x \) đều thỏa mãn điều kiện đi qua điểm (0, 1) và tăng khi \( x \) tăng. - Do đó, chúng ta cần thêm thông tin về tốc độ tăng của hàm số để xác định chính xác. Tuy nhiên, từ đồ thị, chúng ta thấy rằng tốc độ tăng của hàm số \( y = f(x) \) tương ứng với hàm số \( y = 2^x \). Vậy, hàm số \( y = f(x) \) được xác định bởi: \[ \boxed{B.~y = 2^x} \] Câu 16. Để tìm giá trị của \(243^{\frac{1}{5}}\), chúng ta cần tìm căn bậc năm của 243. Bước 1: Xác định căn bậc năm của 243. Ta biết rằng: \[ 243 = 3^5 \] Do đó: \[ 243^{\frac{1}{5}} = (3^5)^{\frac{1}{5}} = 3^{5 \cdot \frac{1}{5}} = 3^1 = 3 \] Vậy giá trị của \(243^{\frac{1}{5}}\) là 3. Đáp án đúng là: A. 3. Câu 17. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_2(x - 1) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit phải lớn hơn 0. Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức trong dấu logarit: \[ x - 1 > 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ x > 1 \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \log_2(x - 1) \) là \( (1; +\infty) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(1; +\infty) \] Câu 18. Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thấy rằng: - Đường thẳng AB nằm trong mặt đáy ABCD. - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt bên A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng AB và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm B' trên cạnh A'B' sao cho B' trùng với C'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng AB song song với đường thẳng B'C'. - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng B'C'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng B'C' và B'C'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng B'C' nằm trong mặt phẳng B'C'D'. - Đường thẳng B'C' nằm trong mặt phẳng B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng B'C' và B'C' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm D' trên cạnh C'D' sao cho D' trùng với B'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng B'C' song song với đường thẳng D'B'. - Đường thẳng B'C' song song với đường thẳng D'B'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng B'C' và B'C' chính là góc giữa hai đường thẳng D'B' và D'B'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng D'B' nằm trong mặt phẳng D'B'C'. - Đường thẳng D'B' nằm trong mặt phẳng D'B'C'. Góc giữa hai đường thẳng D'B' và D'B' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm C' trên cạnh D'C' sao cho C' trùng với B'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng D'B' song song với đường thẳng C'B'. - Đường thẳng D'B' song song với đường thẳng C'B'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng D'B' và D'B' chính là góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. Góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm A' trên cạnh B'A' sao cho A' trùng với C'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng C'B' song song với đường thẳng A'C'. - Đường thẳng C'B' song song với đường thẳng A'C'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B' chính là góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng A'C'D'. - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng A'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm D' trên cạnh C'D' sao cho D' trùng với A'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng D'A'. - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng D'A'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng D'A' nằm trong mặt phẳng D'A'B'. - Đường thẳng D'A' nằm trong mặt phẳng D'A'B'. Góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm B' trên cạnh A'B' sao cho B' trùng với D'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng D'A' song song với đường thẳng B'D'. - Đường thẳng D'A' song song với đường thẳng B'D'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A' chính là góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng B'D'C'. - Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng B'D'C'. Góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm C' trên cạnh D'C' sao cho C' trùng với B'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng B'D' song song với đường thẳng C'B'. - Đường thẳng B'D' song song với đường thẳng C'B'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D' chính là góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. Góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm A' trên cạnh B'A' sao cho A' trùng với C'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng C'B' song song với đường thẳng A'C'. - Đường thẳng C'B' song song với đường thẳng A'C'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B' chính là góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng A'C'D'. - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng A'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm D' trên cạnh C'D' sao cho D' trùng với A'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng D'A'. - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng D'A'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng D'A' nằm trong mặt phẳng D'A'B'. - Đường thẳng D'A' nằm trong mặt phẳng D'A'B'. Góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm B' trên cạnh A'B' sao cho B' trùng với D'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng D'A' song song với đường thẳng B'D'. - Đường thẳng D'A' song song với đường thẳng B'D'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A' chính là góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng B'D'C'. - Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng B'D'C'. Góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm C' trên cạnh D'C' sao cho C' trùng với B'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng B'D' song song với đường thẳng C'B'. - Đường thẳng B'D' song song với đường thẳng C'B'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D' chính là góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. Góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm A' trên cạnh B'A' sao cho A' trùng với C'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng C'B' song song với đường thẳng A'C'. - Đường thẳng C'B' song song với đường thẳng A'C'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B' chính là góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng A'C'D'. - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng A'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm D' trên cạnh C'D' sao cho D' trùng với A'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng D'A'. - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng D'A'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng D'A' nằm trong mặt phẳng D'A'B'. - Đường thẳng D'A' nằm trong mặt phẳng D'A'B'. Góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm B' trên cạnh A'B' sao cho B' trùng với D'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng D'A' song song với đường thẳng B'D'. - Đường thẳng D'A' song song với đường thẳng B'D'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A' chính là góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng B'D'C'. - Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng B'D'C'. Góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm C' trên cạnh D'C' sao cho C' trùng với B'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng B'D' song song với đường thẳng C'B'. - Đường thẳng B'D' song song với đường thẳng C'B'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D' chính là góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. Góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm A' trên cạnh B'A' sao cho A' trùng với C'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng C'B' song song với đường thẳng A'C'. - Đường thẳng C'B' song song với đường thẳng A'C'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B' chính là góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng A'C'D'. - Đường thẳng A'C' nằm trong mặt phẳng A'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm D' trên cạnh C'D' sao cho D' trùng với A'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng D'A'. - Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng D'A'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'C' chính là góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng D'A' nằm trong mặt phẳng D'A'B'. - Đường thẳng D'A' nằm trong mặt phẳng D'A'B'. Góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm B' trên cạnh A'B' sao cho B' trùng với D'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng D'A' song song với đường thẳng B'D'. - Đường thẳng D'A' song song với đường thẳng B'D'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng D'A' và D'A' chính là góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng B'D'C'. - Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng B'D'C'. Góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D' chính là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy điểm C' trên cạnh D'C' sao cho C' trùng với B'. Khi đó, ta có: - Đường thẳng B'D' song song với đường thẳng C'B'. - Đường thẳng B'D' song song với đường thẳng C'B'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng B'D' và B'D' chính là góc giữa hai đường thẳng C'B' và C'B'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phẳng C'B'A'. - Đường thẳng C'B' nằm trong mặt phằng Câu 19. Để tính xác suất của sự kiện \( A \cup B \) khi \( A \) và \( B \) là hai biến cố xung khắc, ta sử dụng công thức xác suất của tổng của hai biến cố xung khắc: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Trong đó: - \( P(A) = \frac{1}{3} \) - \( P(B) = \frac{1}{5} \) Bây giờ, ta thực hiện phép cộng các xác suất này: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \] Để cộng hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu số chung. Mẫu số chung của 3 và 5 là 15. Do đó: \[ \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \] \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \] Vậy: \[ P(A \cup B) = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15} \] Do đó, xác suất của \( A \cup B \) là: \[ P(A \cup B) = \frac{8}{15} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{8}{15} \] Câu 20. Để tính xác suất của biến cố \( AB \) (tức là cả hai biến cố \( A \) và \( B \) cùng xảy ra), ta sử dụng công thức xác suất của biến cố đồng thời khi hai biến cố độc lập: \[ P(AB) = P(A) \times P(B) \] Biết rằng: \[ P(A) = \frac{1}{8} \] \[ P(B) = \frac{2}{7} \] Áp dụng công thức trên, ta có: \[ P(AB) = \frac{1}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{1 \times 2}{8 \times 7} = \frac{2}{56} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{2}{56}. \] Câu 21. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng định nghĩa của đạo hàm tại một điểm. Cụ thể, đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \) được định nghĩa là: \[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \] Theo đề bài, ta đã biết rằng: \[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 18 \] Do đó, theo định nghĩa của đạo hàm, ta có: \[ f'(2) = 18 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~f'(2) = 18 \] Câu 22. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 13^x \), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ \( a^x \): \[ \left( a^x \right)' = a^x \cdot \ln(a) \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( x \) là biến độc lập. Áp dụng công thức này vào hàm số \( y = 13^x \): \[ y' = 13^x \cdot \ln(13) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~y^\prime = 13^x \cdot \ln(13) \] Câu 23. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^{17} \), ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa \( y = x^n \), trong đó \( n \) là hằng số. Công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa là: \[ y' = nx^{n-1} \] Áp dụng công thức này vào hàm số \( y = x^{17} \): \[ y' = 17x^{17-1} \] \[ y' = 17x^{16} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~y^\prime=17.x^{16}. \]