giải bài tập

Câu 24. Phương trình $\log_a x = b$ luôn có nghiệm duy nhất là $x = a^b$. Lập luận từng bước: - Phương trình $\log_a x = b$ có nghĩa là $a$ lũy thừa với $b$ sẽ bằng $x$. - Do đó, $x = a^b$. Vậy đáp án đúng là: $D.~x = a^b$. Câu 25. Để giải phương trình $3^{x-1} = 27$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình này là phương trình mũ, không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể nào khác ngoài việc đảm bảo rằng cơ số và số mũ đều hợp lý. Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng cơ số giống nhau - Ta nhận thấy rằng $27$ có thể viết thành $3^3$. Do đó, phương trình trở thành: \[ 3^{x-1} = 3^3 \] Bước 3: So sánh số mũ - Vì hai vế có cùng cơ số là 3, ta có thể so sánh số mũ của chúng: \[ x - 1 = 3 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm giá trị của \( x \) - Ta giải phương trình \( x - 1 = 3 \): \[ x = 3 + 1 \] \[ x = 4 \] Vậy nghiệm của phương trình $3^{x-1} = 27$ là \( x = 4 \). Đáp án đúng là: C. 4. Câu 1. a) Mệnh đề: $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}} = (9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}}$ Lập luận: - Ta có: $9 = 3^2$ và $27 = 3^3$ - Do đó: $9^{\frac{2}{5}} = (3^2)^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{4}{5}}$ - Tương tự: $27^{\frac{2}{5}} = (3^3)^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{6}{5}}$ - Nhân hai biểu thức trên: $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{6}{5}} = 3^{\frac{4}{5} + \frac{6}{5}} = 3^2$ - Mặt khác: $(9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}} = (3^2 \cdot 3^3)^{\frac{2}{5}} = (3^5)^{\frac{2}{5}} = 3^2$ - Vậy: $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}} = (9 \cdot 27)^{\frac{2}{5}}$ Đáp án: Đúng b) Mệnh đề: $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}} = 3^k$ thì $k = 3$ Lập luận: - Ta đã chứng minh ở phần a) rằng: $9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}} = 3^2$ - Do đó: $3^2 = 3^k$ suy ra $k = 2$ Đáp án: Sai c) Mệnh đề: $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}} = 2^k$ thì $k = 3$ Lập luận: - Ta có: $144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$ - Do đó: $144^{\frac{3}{4}} = (2^4 \cdot 3^2)^{\frac{3}{4}} = 2^3 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ - Tương tự: $9 = 3^2$ nên $9^{\frac{3}{4}} = (3^2)^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{2}}$ - Chia hai biểu thức trên: $\frac{144^{\frac{3}{4}}}{9^{\frac{3}{4}}} = \frac{2^3 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}} = 2^3$ - Vậy: $144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}} = 2^3$ Đáp án: Đúng d) Mệnh đề: $A - B = 1$ Lập luận: - Ta đã biết: $A = 9^{\frac{2}{5}} \cdot 27^{\frac{2}{5}} = 3^2 = 9$ - Ta cũng đã biết: $B = 144^{\frac{3}{4}} : 9^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8$ - Do đó: $A - B = 9 - 8 = 1$ Đáp án: Đúng Câu 2. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt tính toán các biểu thức \( A \) và \( B \). Biểu thức \( A \): \[ A = \sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot \sqrt[4]{2}}} \] Ta sẽ lần lượt tính từng phần trong biểu thức này: - \( \sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}} \) - \( 2 \cdot \sqrt[4]{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{1 + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}} \) - \( \sqrt[3]{2 \cdot \sqrt[4]{2}} = \sqrt[3]{2^{\frac{5}{4}}} = 2^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{12}} \) - \( 2 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot \sqrt[4]{2}} = 2 \cdot 2^{\frac{5}{12}} = 2^{1 + \frac{5}{12}} = 2^{\frac{17}{12}} \) - \( \sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot \sqrt[4]{2}}} = \sqrt{2^{\frac{17}{12}}} = 2^{\frac{17}{12} \cdot \frac{1}{2}} = 2^{\frac{17}{24}} \) Do đó: \[ A = 2^{\frac{17}{24}} \] Biểu thức \( B \): \[ B = \sqrt[24]{2^5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{-1}}} \] Ta sẽ lần lượt tính từng phần trong biểu thức này: - \( \sqrt[24]{2^5} = 2^{\frac{5}{24}} \) - \( \sqrt{2^{-1}} = 2^{-\frac{1}{2}} \) - \( \frac{1}{\sqrt{2^{-1}}} = 2^{\frac{1}{2}} \) Do đó: \[ B = 2^{\frac{5}{24}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{24} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{24} + \frac{12}{24}} = 2^{\frac{17}{24}} \] Kiểm tra các mệnh đề: Mệnh đề a: \[ A = 2^{\frac{17}{24}} \] Phân số tối giản là \( \frac{17}{24} \), do đó \( a = 17 \) và \( b = 24 \). Ta có: \[ a + b = 17 + 24 = 41 \] Mệnh đề a đúng. Mệnh đề b: \[ B = 2^{\frac{17}{24}} \] Phân số tối giản là \( \frac{17}{24} \), do đó \( a = 17 \) và \( b = 24 \). Ta có: \[ a + b = 17 + 24 = 41 \] Mệnh đề b sai vì \( a + b = 41 \), không phải 31. Mệnh đề c: \[ A - B \sqrt{5} = 2^{\frac{17}{24}} - 2^{\frac{17}{24}} \sqrt{5} \neq \sqrt{5} \] Mệnh đề c sai. Mệnh đề d: \[ A \cdot B = 2^{\frac{17}{24}} \cdot 2^{\frac{17}{24}} = 2^{\frac{17}{24} + \frac{17}{24}} = 2^{\frac{34}{24}} = 2^{\frac{17}{12}} \] Phân số tối giản là \( \frac{17}{12} \), do đó \( m = 17 \) và \( n = 12 \). Ta có: \[ m + n = 17 + 12 = 29 \] Mệnh đề d đúng. Kết luận: - Mệnh đề a: Đúng - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Sai - Mệnh đề d: Đúng Câu 3. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt thay giá trị của $\log_2 x$ vào biểu thức $A$ và kiểm tra xem kết quả có đúng với các mệnh đề đã cho hay không. Trước tiên, ta viết lại biểu thức $A$ dưới dạng sử dụng cùng cơ số: \[ A = \log_2 x^2 + \log_{\frac{1}{2}} x^3 + \log_4 x \] Sử dụng tính chất của logarit: \[ \log_{\frac{1}{2}} x^3 = -\log_2 x^3 \] \[ \log_4 x = \frac{1}{2} \log_2 x \] Do đó: \[ A = \log_2 x^2 - \log_2 x^3 + \frac{1}{2} \log_2 x \] Áp dụng tính chất $\log_b x^n = n \log_b x$: \[ A = 2 \log_2 x - 3 \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 x \] Gộp các hạng tử lại: \[ A = (2 - 3 + \frac{1}{2}) \log_2 x \] \[ A = (-1 + \frac{1}{2}) \log_2 x \] \[ A = -\frac{1}{2} \log_2 x \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: a) Khi $\log_2 x = 1$: \[ A = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \] Mệnh đề này đúng. b) Khi $\log_2 x = 2$: \[ A = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1 \] Mệnh đề này sai. c) Khi $\log_2 x = \sqrt{3}$: \[ A = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Mệnh đề này đúng. d) Khi $\log_2 x = \sqrt{2}$: \[ A = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Mệnh đề này sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Sai - Mệnh đề c) Đúng - Mệnh đề d) Sai Câu 4. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y=2x^3-3x^2+4x-8$: \[ y' = 6x^2 - 6x + 4 \] So sánh với $y' = ax^2 + bx + c$, ta có: \[ a = 6, \quad b = -6, \quad c = 4 \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: a) Kiểm tra $a + b + c = 14$: \[ a + b + c = 6 + (-6) + 4 = 4 \] Mệnh đề này sai vì $4 \neq 14$. b) Kiểm tra phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt: Phương trình $y' = 0$ là: \[ 6x^2 - 6x + 4 = 0 \] Ta tính $\Delta$ của phương trình này: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 36 - 96 = -60 \] Vì $\Delta < 0$, phương trình này không có nghiệm thực, do đó không có hai nghiệm phân biệt. Mệnh đề này sai. c) Kiểm tra đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0;4)$: Khi $x = 0$, ta có: \[ y' = 6(0)^2 - 6(0) + 4 = 4 \] Do đó, đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0;4)$. Mệnh đề này đúng. d) Kiểm tra đồ thị hàm số $y'$ cắt đường thẳng $y = 5$ tại hai điểm phân biệt: Phương trình $y' = 5$ là: \[ 6x^2 - 6x + 4 = 5 \] \[ 6x^2 - 6x - 1 = 0 \] Ta tính $\Delta$ của phương trình này: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 36 + 24 = 60 \] Vì $\Delta > 0$, phương trình này có hai nghiệm phân biệt. Do đó, đồ thị hàm số $y'$ cắt đường thẳng $y = 5$ tại hai điểm phân biệt. Mệnh đề này đúng. Tóm lại: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng