Bài 1 : Cho tam giác ABC cân tại A .Gọi M là trung điểm của BC : a) CM: Tam giác AMB = Tam giác AMC b) CM: AM vuông góc với BC c) kẻ BE vuông góc AC (E thuộc AC) trên tia đối của tia EB lấy điểm K sao...

cú duo

a) Xét $\triangle AMB$ và $\triangle AMC$ có:

$AB = AC$ (do $\triangle ABC$ cân tại $A$)

$MB = MC$ (do $M$ là trung điểm của $BC$)

$AM$ là cạnh chung

Vậy $\triangle AMB = \triangle AMC$ (c.c.c)

b) Vì $\triangle AMB = \triangle AMC$ (chứng minh trên)

Nên $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù

Nên $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 2\widehat{AMB} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{AMB} = 90^{\circ}$

Vậy $AM \perp BC$

c) Vì $BE \perp AC$ nên $\widehat{BEA} = 90^{\circ}$.

Trên tia đối của tia $EB$ lấy điểm $K$ sao cho $EB=EK$.

Xét $\triangle ABE$ và $\triangle AKE$ có:

$EB = EK$ (giả thiết)

$\widehat{BEA} = \widehat{KEA} = 90^{\circ}$

$AE$ là cạnh chung

Vậy $\triangle ABE = \triangle AKE$ (c.g.c)

Suy ra $AB = AK$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $AB = AC$ (do $\triangle ABC$ cân tại $A$)

Nên $AC = AK$.

Do đó $\triangle ACK$ cân tại $A$.

Gọi $I$ là trung điểm của $CK$.

Vì $\triangle ACK$ cân tại $A$ nên $AI$ là đường trung tuyến, đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra $AI \perp CK$.

Xét $\triangle CBK$ có $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là trung điểm $CK$.

Nên $MI$ là đường trung bình của $\triangle CBK$.

Suy ra $MI // BK$.

Mà $BE \perp AC$ nên $BK \perp AC$.

Do đó $MI \perp AC$.

Xét $\triangle BCD$ có:

$M$ là trung điểm của $BC$

$MI // BD$ (vì $MI // BK$ và $K$ thuộc $BD$)

Suy ra $I$ là trung điểm của $CD$.

Vậy $CI = ID$.

Ta có: $AI \perp CK$ và $I$ là trung điểm $CK$.

Vậy $AI$ là đường trung trực của $CK$.

Do đó $AC=AK$ và $IC=IK$.

Mà $AC=AB$, do đó $AB=AK$.

Vậy $A$ cách đều ba đỉnh $B$, $C$ và $K$.

$\triangle BCD$ có $CI=ID$, $BM=MC$. Suy ra $MI$ là đường trung bình của $\triangle BCD$.

Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác $BCD$ là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $BCD$.