Giai giup toi

Câu 7. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{-x^2 + 2x + 3}{x^3 - 2}$, ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = -x^2 + 2x + 3 \) - \( v = x^3 - 2 \) Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = (-x^2 + 2x + 3)' = -2x + 2 \] \[ v' = (x^3 - 2)' = 3x^2 \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(-2x + 2)(x^3 - 2) - (-x^2 + 2x + 3)(3x^2)}{(x^3 - 2)^2} \] Mở rộng các biểu thức trong tử số: \[ (-2x + 2)(x^3 - 2) = -2x^4 + 4x + 2x^3 - 4 \] \[ (-x^2 + 2x + 3)(3x^2) = -3x^4 + 6x^3 + 9x^2 \] Thay vào biểu thức đạo hàm: \[ y' = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 4 - (-3x^4 + 6x^3 + 9x^2)}{(x^3 - 2)^2} \] Rút gọn biểu thức trong tử số: \[ y' = \frac{-2x^4 + 2x^3 + 4x - 4 + 3x^4 - 6x^3 - 9x^2}{(x^3 - 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^4 - 4x^3 - 9x^2 + 4x - 4}{(x^3 - 2)^2} \] So sánh với biểu thức đã cho \(\frac{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}{(x^3 - 2)^2}\), ta nhận thấy: \[ a = 1, \quad b = -4, \quad c = -9, \quad d = 4, \quad e = -4 \] Tính tổng \(a + b + c + d + e\): \[ a + b + c + d + e = 1 - 4 - 9 + 4 - 4 = -12 \] Vậy đáp án đúng là: A. -12 Câu 8. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = (x-2)\sqrt{x^2+1} \), ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số. Giả sử \( u = x - 2 \) và \( v = \sqrt{x^2 + 1} \). Ta có: \[ y = u \cdot v \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = u'v + uv' \] Tính đạo hàm của \( u \): \[ u' = 1 \] Tính đạo hàm của \( v \): \[ v = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \] \[ v' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Thay vào công thức đạo hàm của tích: \[ y' = 1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} + (x - 2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Rút gọn biểu thức: \[ y' = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{(x - 2)x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{(x^2 + 1) + (x^2 - 2x)}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{x^2 + 1 + x^2 - 2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} \] So sánh với biểu thức đã cho: \[ y' = \frac{ax^2 + bx + c}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Ta thấy rằng: \[ a = 2, \quad b = -2, \quad c = 1 \] Do đó: \[ ab = 2 \cdot (-2) = -4 \] Vậy đáp án đúng là: B. -4 Câu 9. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = (x^6 - 3x^4)^2$, ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp (chain rule). Bước 1: Xác định hàm con và hàm ngoài. - Hàm con: $u = x^6 - 3x^4$ - Hàm ngoài: $y = u^2$ Bước 2: Tính đạo hàm của hàm con. \[ u' = \frac{d}{dx}(x^6 - 3x^4) = 6x^5 - 12x^3 \] Bước 3: Tính đạo hàm của hàm ngoài. \[ y' = \frac{d}{du}(u^2) = 2u \] Bước 4: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. \[ y' = 2u \cdot u' \] Thay $u = x^6 - 3x^4$ và $u' = 6x^5 - 12x^3$ vào: \[ y' = 2(x^6 - 3x^4)(6x^5 - 12x^3) \] Bước 5: Nhân và đơn giản hóa biểu thức. \[ y' = 2(x^6 - 3x^4)(6x^5 - 12x^3) \] \[ = 2 \left[ x^6(6x^5 - 12x^3) - 3x^4(6x^5 - 12x^3) \right] \] \[ = 2 \left[ 6x^{11} - 12x^9 - 18x^9 + 36x^7 \right] \] \[ = 2 \left[ 6x^{11} - 30x^9 + 36x^7 \right] \] \[ = 12x^{11} - 60x^9 + 72x^7 \] Vậy đạo hàm của hàm số $y = (x^6 - 3x^4)^2$ là $12x^{11} - 60x^9 + 72x^7$. Đáp án đúng là: \[ D.~12x^{11} - 60x^9 + 72x^7. \] Câu 10. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{5x^2 - 2x + 1}$, ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm số căn bậc hai: \[ y' = \frac{(5x^2 - 2x + 1)'}{2\sqrt{5x^2 - 2x + 1}} \] Trước tiên, ta tính đạo hàm của mẫu số trong căn bậc hai: \[ (5x^2 - 2x + 1)' = 10x - 2 \] Do đó, đạo hàm của hàm số $y$ là: \[ y' = \frac{10x - 2}{2\sqrt{5x^2 - 2x + 1}} \] Rút gọn biểu thức trên: \[ y' = \frac{5x - 1}{\sqrt{5x^2 - 2x + 1}} \] So sánh với biểu thức đã cho $\frac{ax + b}{\sqrt{5x^2 - 2x + 1}}$, ta nhận thấy rằng: \[ a = 5 \] \[ b = -1 \] Vậy tỉ số $\frac{a}{b}$ là: \[ T = \frac{5}{-1} = -5 \] Đáp án đúng là: $A.~T = -5$. Câu 11. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Rationalize the denominator: Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}$ để loại bỏ căn thức ở mẫu: \[ y = \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{x-1})^2} \] \[ y = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{(x+1) - (x-1)} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{2} \] 2. Tìm đạo hàm của biểu thức mới: \[ y = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{2} \] Ta sẽ tìm đạo hàm của mỗi thành phần trong biểu thức này: \[ \left( \sqrt{x+1} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \] \[ \left( \sqrt{x-1} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \] 3. Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và hằng số: \[ y' = \frac{1}{2} \left( \left( \sqrt{x+1} \right)' + \left( \sqrt{x-1} \right)' \right) \] \[ y' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2\sqrt{x+1}} + \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right) \] \[ y' = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right) \] 4. So sánh với các đáp án: \[ y' = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right) \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ C.~\frac{1}{4\sqrt{x+1}} + \frac{1}{4\sqrt{x-1}} \] Câu 12. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 + 1}}$, ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số. Gọi $u = x - 1$ và $v = \sqrt{x^2 + 1}$. Ta có: \[ y = \frac{u}{v} \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Tính đạo hàm của $u$ và $v$: \[ u' = 1 \] \[ v = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \] \[ v' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - (x - 1) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x(x - 1)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2 - x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{\frac{(x^2 + 1) - (x^2 - x)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{\frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} \] \[ y' = \frac{x + 1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{x + 1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} \] \[ y' = \frac{x + 1}{\sqrt{(x^2 + 1)^3}} \] So sánh với biểu thức $\frac{ax + b}{\sqrt{(x^2 + 1)^3}}$, ta thấy $a = 1$ và $b = 1$. Do đó, $P = ab = 1 \times 1 = 1$. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~P = 1 \] Câu 13. Để tính \( f'(0) \) của hàm số \( f(x) = \frac{x}{(x-1)(x-2)\cdots(x-2017)} \), ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số. Gọi \( u(x) = x \) và \( v(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2017) \). Ta có: \[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \] Theo quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Trước tiên, ta tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \): \[ u'(x) = 1 \] \[ v(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2017) \] Đạo hàm của \( v(x) \) theo quy tắc đạo hàm của tích nhiều hàm số: \[ v'(x) = (x-2)(x-3)\cdots(x-2017) + (x-1)(x-3)\cdots(x-2017) + \cdots + (x-1)(x-2)\cdots(x-2016) \] Bây giờ, ta thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1)(x-2)\cdots(x-2017) - x \left[(x-2)(x-3)\cdots(x-2017) + (x-1)(x-3)\cdots(x-2017) + \cdots + (x-1)(x-2)\cdots(x-2016)\right]}{[(x-1)(x-2)\cdots(x-2017)]^2} \] Đánh giá tại \( x = 0 \): \[ f'(0) = \frac{1 \cdot (-1)(-2)\cdots(-2017) - 0 \left[(-2)(-3)\cdots(-2017) + (-1)(-3)\cdots(-2017) + \cdots + (-1)(-2)\cdots(-2016)\right]}{[(-1)(-2)\cdots(-2017)]^2} \] \[ f'(0) = \frac{(-1)^{2017} \cdot 2017!}{(2017!)^2} \] \[ f'(0) = \frac{-2017!}{(2017!)^2} \] \[ f'(0) = -\frac{1}{2017!} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~-\frac{1}{2017!} \]