Giải chi tiết giúp mình câu 11 và câu 12

Câu 10: Khi gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất, ta có 6 kết quả có thể xảy ra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó, các số chẵn là: 2, 4, 6. Số lượng các kết quả có thể xảy ra là 6. Số lượng các kết quả mong muốn (số chẵn) là 3. Xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là: \[ P = \frac{\text{Số lượng kết quả mong muốn}}{\text{Số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{1}{2}$. Câu 11: Ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để tìm hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (1 + 3x)^4 \). Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = 3x \), và \( n = 4 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^3 \), tức là \( k = 3 \). Áp dụng công thức: \[ \binom{4}{3} (1)^{4-3} (3x)^3 \] Tính từng phần: \[ \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3! \times 1} = 4 \] \[ (1)^{4-3} = 1 \] \[ (3x)^3 = 3^3 x^3 = 27x^3 \] Nhân các thành phần lại: \[ 4 \times 1 \times 27x^3 = 108x^3 \] Vậy hệ số của \( x^3 \) trong khai triển của \( (1 + 3x)^4 \) là 108. Đáp án đúng là: A. 108. Câu 12: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(-2, 1) \) đến đường thẳng \( 3x - 4y - 5 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_1, y_1) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong bài này, ta có: - Điểm \( M(-2, 1) \), tức là \( x_1 = -2 \) và \( y_1 = 1 \) - Đường thẳng \( 3x - 4y - 5 = 0 \), tức là \( a = 3 \), \( b = -4 \), và \( c = -5 \) Áp dụng công thức: \[ d = \frac{|3(-2) + (-4)(1) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] \[ d = \frac{|-6 - 4 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{15}{5} \] \[ d = 3 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(-2, 1) \) đến đường thẳng \( 3x - 4y - 5 = 0 \) là 3. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 1: a) Phương trình chính tắc của Elip (E) có tiêu điểm $F_2(\sqrt6;0)$ và đi qua điểm $A(0;5)$ là $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1.$ Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > b$. Tiêu điểm $F_2(\sqrt{6}, 0)$ nằm trên trục hoành, do đó $c = \sqrt{6}$. Ta có $c^2 = a^2 - b^2$, suy ra $6 = a^2 - b^2$. Elip đi qua điểm $A(0, 5)$, do đó $\frac{0^2}{a^2} + \frac{5^2}{b^2} = 1$, suy ra $\frac{25}{b^2} = 1$, suy ra $b^2 = 25$. Thay vào $6 = a^2 - 25$, ta có $a^2 = 31$. Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{31} + \frac{y^2}{25} = 1$. Đáp án sai. b) Đường tròn tâm $I(2, -1)$ và đi qua điểm $A(5, 3)$ có phương trình là $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$. Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $I(2, -1)$ đến điểm $A(5, 3)$. Ta có: \[ r = \sqrt{(5-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. \] Phương trình đường tròn là $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$. Đáp án đúng. c) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M(2, -1)$ và $N(1, 3)$ là $4x + y - 7 = 0$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\vec{n} = (a, b)$. Ta có: \[ a(1-2) + b(3+1) = 0, \] \[ -a + 4b = 0, \] \[ a = 4b. \] Chọn $b = 1$, ta có $a = 4$. Phương trình đường thẳng là $4(x-2) + 1(y+1) = 0$, suy ra $4x + y - 7 = 0$. Đáp án đúng. d) Hai đường thẳng $(d): 2x - 3y + 1 = 0$ và $(\Delta): 2x + 3y - 1 = 0$ cắt nhau. Ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x - 3y + 1 = 0 \\ 2x + 3y - 1 = 0 \end{cases}. \] Cộng hai phương trình lại, ta có: \[ 4x = 0, \] \[ x = 0. \] Thay $x = 0$ vào phương trình đầu tiên, ta có: \[ 2(0) - 3y + 1 = 0, \] \[ -3y + 1 = 0, \] \[ y = \frac{1}{3}. \] Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(0, \frac{1}{3})$. Đáp án đúng. Đáp số: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Câu 2: a) Số cách chọn 2 bạn nam trong 10 bạn nam là ${C}_{10}^{2}=45$ cách. Số cách chọn 2 bạn nữ trong 7 bạn nữ là ${C}_{7}^{2}=21$ cách. Vậy số cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ là $45\times 21=945$ cách. b) Số cách chọn một bạn để trực nhật lớp là $8+6=14$ cách. c) Số cách bạn An chọn một bộ quần áo là $5\times 4=20$ cách. d) Số tự nhiên gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $7\times 6\times 5=210$ số. Câu 1: Để tam thức $f(x) = x^2 + 2mx + 3m - 2$ luôn không âm với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần điều kiện $\Delta' \leq 0$. Bước 1: Tính $\Delta'$ của tam thức $f(x)$: \[ \Delta' = m^2 - (3m - 2) = m^2 - 3m + 2 \] Bước 2: Đặt $\Delta' \leq 0$: \[ m^2 - 3m + 2 \leq 0 \] Bước 3: Giải bất phương trình $m^2 - 3m + 2 \leq 0$: Ta tìm nghiệm của phương trình $m^2 - 3m + 2 = 0$: \[ m^2 - 3m + 2 = (m - 1)(m - 2) = 0 \] Suy ra $m = 1$ hoặc $m = 2$. Bước 4: Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: \[ (m - 1)(m - 2) \leq 0 \] Kết hợp với biểu đồ số, ta thấy rằng: \[ 1 \leq m \leq 2 \] Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $[1, 2]$: Các giá trị nguyên của $m$ là $m = 1$ và $m = 2$. Bước 6: Tính tổng các giá trị nguyên của $m$: \[ 1 + 2 = 3 \] Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để $f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$ là 3. Câu 2: Để tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2x-3}{\sqrt{1-x^2}}$, ta cần đảm bảo rằng mẫu số $\sqrt{1-x^2}$ khác 0 và nằm trong miền xác định của căn bậc hai. 1. Điều kiện mẫu số khác 0: \[ \sqrt{1-x^2} \neq 0 \] \[ 1 - x^2 > 0 \] 2. Giải bất phương trình: \[ 1 - x^2 > 0 \] \[ x^2 < 1 \] \[ -1 < x < 1 \] Tập xác định của hàm số là: \[ D = (-1; 1) \] Trong đó, \(a = -1\) và \(b = 1\). 3. Tính giá trị biểu thức \(a - b\): \[ a - b = -1 - 1 = -2 \] Vậy giá trị của biểu thức \(a - b\) là \(-2\). Câu 3: Để tính bán kính của đường tròn (C) từ phương trình \(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương. Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại: \[x^2 - 4x + y^2 + 2y = 4.\] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các nhóm \(x\) và \(y\): \[x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 4 + 4 + 1,\] \[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9.\] Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), ta nhận thấy rằng đây là phương trình của đường tròn tâm \((2, -1)\) và bán kính \(R = 3\). Vậy bán kính của đường tròn (C) là \(3\). Câu 4: Để tính xác suất của biến cố E "4 viên bi được chọn có ít nhất một viên bi màu xanh", ta làm như sau: 1. Tính tổng số cách chọn 4 viên bi từ 10 viên bi: Số cách chọn 4 viên bi từ 10 viên bi là: \[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] 2. Tính số cách chọn 4 viên bi đều là màu đỏ: Số cách chọn 4 viên bi từ 7 viên bi màu đỏ là: \[ C_{7}^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35 \] 3. Tính số cách chọn 4 viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh: Số cách chọn 4 viên bi có ít nhất một viên bi màu xanh là: \[ 210 - 35 = 175 \] 4. Tính xác suất của biến cố E: Xác suất của biến cố E là: \[ P(E) = \frac{175}{210} \] Rút gọn phân số này: \[ \frac{175}{210} = \frac{5 \times 35}{6 \times 35} = \frac{5}{6} \] 5. Tính giá trị biểu thức Q = b - a: Trong phân số tối giản $\frac{5}{6}$, ta có a = 5 và b = 6. Vậy: \[ Q = b - a = 6 - 5 = 1 \] Đáp số: \( Q = 1 \)