Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Từ điểm M nằm bên ngoài (O) vẽ các tiếp tuyến,MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng,qua B song song với MA cắt đường tròn tại D, MD cắt,đường tròn tại điểm thứ hai là C. Gọi I là trung điểm,CD, K là giao điểm của MD và AB.,1. Chứng minh: A, O, I, B, M cùng thuộc một,đường tròn.,2. Chứng minh: IK là phân giác của là và,$AM.BI=AI.BD$,3. Kẻ dây DE song song với AB, CE cắt AB tại F.,Chứng minh: $OF\bot AB$

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5366771,"userName":"hehe"}

1. Chứng minh $A, O, I, B, M$ cùng thuộc một đường tròn.

* Gọi J là trung điểm $AB$.

* Do MA, MB là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MA = MB$. Suy ra M thuộc trung trực của AB.

* Vì J là trung điểm AB nên $OJ$ $\perp$ AB. Do đó, O cũng thuộc trung trực của AB.

* Vậy $MO$ là trung trực của AB, hay $MA = MB$ và $MO$ $\perp$ $AB$ tại J.

* Do $MA, MB$ là tiếp tuyến nên $\widehat{MAO}$ = $\widehat{MBO}$ = $90^\circ$.

* Vậy $A, O, B, M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.

* Do I là trung điểm CD nên OI $\perp$ CD.

* Vì $AB // MD$ nên sđ cung AC = sđ cung BD.

* Do đó, $\widehat{AIC}$ = $\widehat{BID}$, mà $\widehat{AIC}$ + $\widehat{AID}$ = $180^\circ$ nên $\widehat{BID}$ + $\widehat{AID}$ = $180^\circ$.

* Suy ra $A, I, B$ thẳng hàng.

* Vậy $A, O, I, B, M$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.

2. Chứng minh $IK$ là phân giác của $\widehat{AMB}$ và $\frac{AM.BI}{AI.BD}$.

* Do $MA, MB$ là tiếp tuyến nên $\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$.

* Do $AB // MD$ nên $\widehat{MBA} = \widehat{MDB}$.

* Do đó, $\widehat{MAB} = \widehat{MDB}$, hay $\widehat{KAB} = \widehat{KDB}$.

* Vì $\widehat{KBA} = \widehat{KBD}$ (đối đỉnh) nên $ riangle KAB \sim riangle KDB$.

* Suy ra $\frac{KA}{KD} = \frac{KB}{KA}$, hay $KA^2 = KB.KD$.

* Ta có $MA^2 = MB^2 = MC.MD$.

* Do đó $MA^2 = MC.MD$, nên $ riangle MAC \sim riangle MDA$.

* Suy ra $\widehat{MCA} = \widehat{MAD}$.

* Vì $AB // DE$ nên $\widehat{MAD} = \widehat{ADE}$.

* Suy ra $\widehat{MCA} = \widehat{ADE}$.

* Do đó, $MC = MD$, nên C là trung điểm $MD$.

* Vậy I trùng C, suy ra $IK \equiv CK$.

* Ta có $\frac{AM.BI}{AI.BD} = \frac{MB.CI}{CI.BD} = \frac{MB}{BD} = \frac{MA}{AD}$ (do $AB // MD)$.

* Do I là trung điểm CD nên $CI = DI$.

* Theo định lý Stewart, ta có $KB.CD + KC.AB = KD.BC$, mà I trùng C nên $KB.2CI + KC.AB = KD.BC$, hay $KB.2CI = (KD - KC)AB$.

* Do I trùng C nên K là trung điểm AB, IK là trung tuyến của tam giác $MAB$.

* Vậy IK là phân giác của $\widehat{AMB}$.

3. Kẻ dây $DE$ song song với $AB, CE$ cắt AB tại F. Chứng minh OF $\perp$ AB.

* Do $DE // AB$ nên $\widehat{DEC} = \widehat{BAC}$, $\widehat{EDC} = \widehat{ABC}$.

* Suy ra $ riangle CEF \sim riangle CAB$, nên $\frac{CF}{CB} = \frac{CE}{CA}$.

* Do I trùng C, ta có $OF$ là đường trung bình của tam giác $CAB$.

* Vậy $OF // AB$, mà $OJ$ $\perp$ AB nên OF $\perp$ AB.

Timi · Answer

1. Chứng minh: A, O, I, B, M cùng thuộc một đường tròn.

- Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB và $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$.
- Xét tam giác OMA và OMB:
  - OM chung.
  - MA = MB.
  - $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$.
  Do đó, tam giác OMA và OMB bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- Từ đó, $\angle OAM = \angle OBM$.
- Vì BD // MA nên $\angle OBD = \angle OAM$.
- Kết hợp $\angle OAM = \angle OBM$, ta có $\angle OBD = \angle OBM$.
- Vì I là trung điểm của CD nên $\angle OBI = \angle OBD$.
- Vậy A, O, I, B, M cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh: IK là phân giác của $\angle AIB$ và $AM \cdot BI = AI \cdot BD$.

- Vì A, O, I, B, M cùng thuộc một đường tròn nên $\angle AIB = \angle AMB$.
- Vì BD // MA nên $\angle AIB = \angle ABD$.
- Từ đó, $\angle AIB = \angle ABD$.
- Vì I là trung điểm của CD nên IK là phân giác của $\angle AIB$.
- Áp dụng định lý Tales trong tam giác ABD với đường thẳng IK cắt BD tại K, ta có:
  $$
  \frac{AK}{KB} = \frac{AI}{ID}
  $$
- Vì I là trung điểm của CD nên ID = IC.
- Từ đó, $\frac{AK}{KB} = \frac{AI}{IC}$.
- Nhân cả hai vế với AK và KB, ta có:
  $$
  AK \cdot KB = AI \cdot IC
  $$
- Vì IK là phân giác của $\angle AIB$ nên $AK = KB$.
- Từ đó, $AM \cdot BI = AI \cdot BD$.

3. Chứng minh: $OF \perp AB$.

- Vì DE // AB nên $\angle CDE = \angle CAB$.
- Vì CE cắt AB tại F nên $\angle CEF = \angle CAB$.
- Từ đó, $\angle CDE = \angle CEF$.
- Vì $\angle CDE = \angle CEF$ nên CE là đường phân giác của $\angle DCF$.
- Vì OF là đường kính của đường tròn (O) nên OF vuông góc với AB tại F.

Đáp số: 
1. A, O, I, B, M cùng thuộc một đường tròn.
2. IK là phân giác của $\angle AIB$ và $AM \cdot BI = AI \cdot BD$.
3. $OF \perp AB$.