Plssssssssss Một tấm kẽm chữ nhật ABCD có $AB=30~cm,~AD=40~cm.$ Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh,EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết,hai đáy., ,Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

Question

Plssssssssss Một tấm kẽm chữ nhật ABCD có $AB=30~cm,~AD=40~cm.$ Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh,EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết,hai đáy.,

,Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5408449,"userName":"TrCham"}

Gọi $x$ là độ dài DF. Khi đó, chiều dài đáy của lăng trụ là $30-2x$, chiều cao của lăng trụ là 40 cm.

Đáy của lăng trụ là tam giác cân có cạnh đáy là $30-2x$, hai cạnh bên là $x$.

Chiều cao của tam giác cân là: $h = \sqrt{x^2 - \frac{(30-2x)^2}{4}} = \sqrt{x^2 - \frac{4x^2 - 120x + 900}{4}} = \sqrt{x^2 - x^2 + 30x - 225} = \sqrt{30x - 225}$.

Diện tích đáy là: $S = \frac{1}{2} (30-2x) \sqrt{30x - 225} = (15-x)\sqrt{30x-225}$.

Thể tích lăng trụ là: $V = S \cdot 40 = 40(15-x)\sqrt{30x-225}$.

Để $V$ đạt giá trị lớn nhất, ta xét $V^2$:

$V^2 = 1600 (15-x)^2 (30x-225) = 1600 (225 - 30x + x^2) (30x-225) = 1600 (30x^3 - 900x^2 + 6750x - 50625 - 225x^2 + 6750x - 50625) = 1600(30x^3 - 1125x^2 + 13500x - 101250)$.

Xét $f(x) = (15-x)^2(30x-225) = (225 - 30x + x^2)(30x - 225) = 6750x - 50625 - 900x^2 + 6750x + 30x^3 - 225x^2 = 30x^3 - 1125x^2 + 13500x - 50625$.

$f'(x) = 90x^2 - 2250x + 13500 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 25x + 150 = 0 \Leftrightarrow (x-10)(x-15) = 0$.

$x = 10$ hoặc $x = 15$.

Nếu $x=15$, $V=0$.

Nếu $x=10$, $h = \sqrt{300 - 225} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$, $30-2x = 10$, $S = \frac{1}{2} 10 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$, $V = 40 \cdot 25\sqrt{3} = 1000\sqrt{3}$.

Vậy, $x = 10$ thì thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

Timi · Answer

Trước tiên, chúng ta cần xác định thể tích của khối lăng trụ khuyết. Thể tích của khối lăng trụ khuyết này sẽ là tổng thể tích của hai khối lăng trụ đứng và một khối hộp chữ nhật.

1. Tính diện tích đáy của khối lăng trụ đứng:
   Diện tích đáy của mỗi khối lăng trụ đứng là $\frac{1}{2} \times 30 \times x = 15x$.

2. Chiều cao của khối lăng trụ đứng:
   Chiều cao của mỗi khối lăng trụ đứng là $40 - x$.

3. Thể tích của mỗi khối lăng trụ đứng:
   Thể tích của mỗi khối lăng trụ đứng là $15x \times (40 - x) = 600x - 15x^2$.

4. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
   Diện tích đáy của khối hộp chữ nhật là $30 \times x = 30x$.
   Chiều cao của khối hộp chữ nhật là $x$.
   Thể tích của khối hộp chữ nhật là $30x \times x = 30x^2$.

5. Tổng thể tích của khối lăng trụ khuyết:
   Tổng thể tích của khối lăng trụ khuyết là:
   $$
   V = 2 \times (600x - 15x^2) + 30x^2 = 1200x - 30x^2 + 30x^2 = 1200x - 30x^2
   $$

6. Tìm giá trị của $ x $ để thể tích lớn nhất:
   Để tìm giá trị của $ x $ để thể tích lớn nhất, chúng ta cần tìm đạo hàm của $ V $ và đặt nó bằng 0.
   $$
   V&#x27; = 1200 - 60x
   $$
   Đặt $ V&#x27; = 0 $:
   $$
   1200 - 60x = 0 \implies 60x = 1200 \implies x = 20
   $$

7. Kiểm tra điều kiện để đảm bảo $ x = 20 $ là giá trị cực đại:
   Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai:
   $$
   V&#x27;&#x27; = -60
   $$
   Vì $ V&#x27;&#x27; < 0 $, nên $ x = 20 $ là giá trị cực đại.

Vậy giá trị của $ x $ để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là $ x = 20 $.

Đáp số: $ x = 20 $.