giúp em với ạ

Câu 6. Phương trình cho mặt cắt của gương là $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$. Đây là phương trình của một hypebol với trục thực nằm trên trục Ox và trục phụ nằm trên trục Oy. Trong đó: - \(a^2 = 25\) nên \(a = 5\) - \(b^2 = 16\) nên \(b = 4\) Ta tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi tiêu điểm F1 và F2 bằng công thức \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\): \[ c = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \] Khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương là khoảng cách từ tâm O đến đỉnh A của hypebol, tức là \(a\). Vậy khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương là: \[ a = 5 \] Đáp số: 5 Câu 1: Để tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2x+3}{\sqrt{x-4}}$, ta cần đảm bảo rằng mẫu số $\sqrt{x-4}$ khác 0 và nằm trong miền xác định của căn bậc hai. 1. Điều kiện mẫu số khác 0: \[ \sqrt{x-4} \neq 0 \implies x - 4 > 0 \implies x > 4 \] 2. Điều kiện căn bậc hai có nghĩa: \[ x - 4 \geq 0 \implies x \geq 4 \] Tuy nhiên, vì mẫu số không thể bằng 0, nên ta chỉ giữ điều kiện $x > 4$. Do đó, tập xác định của hàm số là $(4; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(4;+\infty). \] Câu 2: Để tìm tập hợp \( A \cap B \), ta cần xác định các phần tử thuộc cả hai tập hợp \( A \) và \( B \). Tập hợp \( A \) được xác định là: \[ A = \{x \in \mathbb{N} | x < 6\} \] Tập hợp này bao gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 6, tức là: \[ A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \] Tập hợp \( B \) được xác định là: \[ B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \] Bây giờ, ta tìm giao của hai tập hợp này, tức là các phần tử thuộc cả \( A \) và \( B \): - Các phần tử của \( A \) là: 0, 1, 2, 3, 4, 5 - Các phần tử của \( B \) là: 1, 3, 5 Nhìn vào hai tập hợp này, ta thấy rằng các phần tử chung giữa \( A \) và \( B \) là: \[ A \cap B = \{1, 3, 5\} \] Do đó, tập hợp \( A \cap B \) bằng tập hợp: \[ \{1, 3, 5\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\{1;3;5\}. \] Câu 3: Để kiểm tra cặp số nào không là nghiệm của bất phương trình $2x + y - 7 > 0$, ta lần lượt thay các giá trị của mỗi cặp số vào bất phương trình và kiểm tra xem bất phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay $(3; 2)$ vào bất phương trình: \[ 2(3) + 2 - 7 = 6 + 2 - 7 = 1 > 0 \] Bất phương trình đúng, nên cặp số $(3; 2)$ là nghiệm của bất phương trình. B. Thay $(5; -1)$ vào bất phương trình: \[ 2(5) + (-1) - 7 = 10 - 1 - 7 = 2 > 0 \] Bất phương trình đúng, nên cặp số $(5; -1)$ là nghiệm của bất phương trình. C. Thay $(4; 0)$ vào bất phương trình: \[ 2(4) + 0 - 7 = 8 + 0 - 7 = 1 > 0 \] Bất phương trình đúng, nên cặp số $(4; 0)$ là nghiệm của bất phương trình. D. Thay $(-2; 5)$ vào bất phương trình: \[ 2(-2) + 5 - 7 = -4 + 5 - 7 = -6 < 0 \] Bất phương trình sai, nên cặp số $(-2; 5)$ không là nghiệm của bất phương trình. Vậy cặp số không là nghiệm của bất phương trình $2x + y - 7 > 0$ là: \[ \boxed{D.~(-2;5)} \] Câu 4: Áp dụng định lý余弦定理计算\(AC\)的长度。 根据余弦定理： \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B}) \] 代入已知值： \[ AC^2 = 9^2 + 8^2 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] 我们知道 \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)，所以： \[ AC^2 = 81 + 64 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AC^2 = 81 + 64 - 72 \] \[ AC^2 = 145 - 72 \] \[ AC^2 = 73 \] 因此： \[ AC = \sqrt{73} \] 答案是：\( A. \sqrt{73} \) 最终答案是：\( A. \sqrt{73} \) Câu 5: Để lập được các số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau từ các số 1, 5, 6, 7, ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng nghìn: Có 4 lựa chọn (1, 5, 6, 7). - Chọn chữ số hàng trăm: Sau khi đã chọn chữ số hàng nghìn, còn lại 3 lựa chọn. - Chọn chữ số hàng chục: Sau khi đã chọn chữ số hàng nghìn và hàng trăm, còn lại 2 lựa chọn. - Chọn chữ số hàng đơn vị: Sau khi đã chọn chữ số hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục, còn lại 1 lựa chọn. Tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau là: \[ 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Vậy đáp án đúng là B. 24. Câu 6: Để lập được các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập hợp \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng nghìn: Có 4 cách chọn (vì có 4 số trong tập hợp \( A \)). - Chọn chữ số hàng trăm: Có 3 cách chọn (vì đã chọn 1 số cho hàng nghìn, còn lại 3 số). - Chọn chữ số hàng chục: Có 2 cách chọn (vì đã chọn 2 số cho hàng nghìn và hàng trăm, còn lại 2 số). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 1 cách chọn (vì đã chọn 3 số cho hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục, còn lại 1 số). Tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là: \[ 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Vậy đáp án đúng là B. 24. Câu 7: Để tính xác suất để tích của hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 2 thẻ từ 9 thẻ: - Số cách chọn 2 thẻ từ 9 thẻ là: \[ C_9^2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \] 2. Xác định các trường hợp tích là số lẻ: - Tích của hai số là số lẻ nếu cả hai số đều là số lẻ. - Các số lẻ trong tập {1, 2, 3, ..., 9} là: 1, 3, 5, 7, 9. - Số cách chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ là: \[ C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 3. Xác định các trường hợp tích là số chẵn: - Tích của hai số là số chẵn nếu ít nhất một trong hai số là số chẵn. - Tổng số cách chọn 2 thẻ là 36, trong đó có 10 cách chọn sao cho tích là số lẻ. - Do đó, số cách chọn sao cho tích là số chẵn là: \[ 36 - 10 = 26 \] 4. Tính xác suất để tích là số chẵn: - Xác suất để tích là số chẵn là: \[ P(\text{tích là số chẵn}) = \frac{\text{số cách tích là số chẵn}}{\text{tổng số cách chọn 2 thẻ}} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{13}{18} \] Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số phần tử của không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên 7 bạn từ tổ có 5 nam và 8 nữ. Bước 1: Xác định tổng số bạn trong tổ. Tổng số bạn trong tổ là: \[ 5 + 8 = 13 \] Bước 2: Tính số cách chọn 7 bạn từ 13 bạn. Số cách chọn 7 bạn từ 13 bạn được tính bằng tổ hợp chập 7 của 13, ký hiệu là \( C_{13}^7 \). Công thức tính tổ hợp chập k của n là: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Áp dụng công thức này, ta có: \[ C_{13}^7 = \frac{13!}{7!(13-7)!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!} \] Bước 3: Tính giai thừa và thực hiện phép chia. \[ 13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! \] \[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] Do đó: \[ C_{13}^7 = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7! \times 6!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6!} \] \[ = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{720} \] \[ = 1716 \] Vậy số phần tử của không gian mẫu là 1716. Đáp án đúng là: B. 1716. Câu 9: Để viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(-1;3) \) và \( B(3;1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) là: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - (-1), 1 - 3) = (4, -2) \] 2. Chọn một điểm trên đường thẳng: Ta chọn điểm \( A(-1, 3) \). 3. Viết phương trình tham số: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( A(-1, 3) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{AB} = (4, -2) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 4t \\ y = 3 - 2t \end{array} \right. \] 4. So sánh với các phương án đã cho: - Phương án A: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 3 + t \end{array} \right. \) - Phương án B: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 2t \\ y = 3 - t \end{array} \right. \) - Phương án C: \( \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = -1 + t \end{array} \right. \) - Phương án D: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 2t \\ y = 3 + t \end{array} \right. \) Ta thấy rằng phương án D có dạng tương tự với phương trình tham số đã tìm được, nhưng với các hệ số khác nhau. Để kiểm tra, ta có thể nhân cả hai phương trình của phương án D với 2: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 2t \\ y = 3 + t \end{array} \right. \] Nhân cả hai phương trình với 2: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 4t \\ y = 3 + 2t \end{array} \right. \] Điều này không đúng với phương trình tham số ban đầu. Do đó, phương án D không phải là phương án đúng. Ta kiểm tra lại phương án B: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 2t \\ y = 3 - t \end{array} \right. \] Điều này cũng không đúng với phương trình tham số ban đầu. Ta kiểm tra lại phương án C: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = -1 + t \end{array} \right. \] Điều này cũng không đúng với phương trình tham số ban đầu. Ta kiểm tra lại phương án A: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 3 + t \end{array} \right. \] Điều này cũng không đúng với phương trình tham số ban đầu. Do đó, phương án đúng là phương án D: \[ \boxed{D. \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 2t \\ y = 3 + t \end{array} \right. } \] Câu 10. Để tính xác suất để tích của hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm tổng số cách rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ 9 thẻ: - Số cách chọn 2 thẻ từ 9 thẻ là: \[ C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \] 2. Xác định các trường hợp tích là số lẻ: - Tích của hai số là số lẻ nếu cả hai số đều là số lẻ. - Các số lẻ trong tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} là: 1, 3, 5, 7, 9. - Số cách chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ là: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 3. Xác định các trường hợp tích là số chẵn: - Tích của hai số là số chẵn nếu ít nhất một trong hai số là số chẵn. - Tổng số cách rút 2 thẻ là 36, trong đó có 10 cách để tích là số lẻ. - Do đó, số cách để tích là số chẵn là: \[ 36 - 10 = 26 \] 4. Tính xác suất để tích là số chẵn: - Xác suất để tích là số chẵn là: \[ P(\text{tích là số chẵn}) = \frac{\text{số cách tích là số chẵn}}{\text{tổng số cách rút 2 thẻ}} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{13}{18} \] Câu 11: Để xác định tiêu điểm của elip $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng chuẩn $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. - So sánh với phương trình đã cho, ta có: \[ a^2 = 16 \quad \text{và} \quad b^2 = 7 \] - Do đó: \[ a = 4 \quad \text{và} \quad b = \sqrt{7} \] 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \] - Thay các giá trị của \(a\) và \(b\) vào công thức: \[ c = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3 \] 3. Xác định tọa độ của tiêu điểm: - Vì \(a > b\), elip này có trục lớn nằm trên trục hoành (trục \(x\)). - Tiêu điểm của elip nằm trên trục \(x\) và cách tâm elip một khoảng \(c\). - Tọa độ của hai tiêu điểm là: \[ F_1(-c, 0) \quad \text{và} \quad F_2(c, 0) \] - Thay \(c = 3\) vào: \[ F_1(-3, 0) \quad \text{và} \quad F_2(3, 0) \] 4. Kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: \(F(-3, 0)\) đúng. - Đáp án B: \(F(0, 3)\) sai vì tiêu điểm nằm trên trục \(x\). - Đáp án C: \(F(0, -3)\) sai vì tiêu điểm nằm trên trục \(x\). - Đáp án D: \(F(-3, 3)\) sai vì tiêu điểm nằm trên trục \(x\). Vậy, điểm nào sau đây là một tiêu điểm của elip là: \[ \boxed{A.~F(-3, 0)} \] Câu 12: Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Do đó, đáp án đúng là: A. $A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$ Lập luận từng bước: - Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là số cách chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp chúng theo thứ tự. - Công thức này được sử dụng để tính số cách chọn và sắp xếp k phần tử từ n phần tử, không quan tâm đến thứ tự của các phần tử còn lại. Vậy đáp án đúng là A. Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi về xác suất và số cách chọn, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Số phần tử của không gian mẫu Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cách chọn 3 bạn từ 11 bạn (5 nam + 6 nữ). Số phần tử của không gian mẫu là: \[ C^{3}_{11} = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 \] b) Xác suất chọn 3 bạn nam Số cách chọn 3 bạn nam từ 5 bạn nam là: \[ C^{3}_{5} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \] Xác suất chọn 3 bạn nam là: \[ P(\text{3 nam}) = \frac{C^{3}_{5}}{C^{3}_{11}} = \frac{10}{165} = \frac{2}{33} \] c) Xác suất chọn 3 bạn nữ Số cách chọn 3 bạn nữ từ 6 bạn nữ là: \[ C^{3}_{6} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] Xác suất chọn 3 bạn nữ là: \[ P(\text{3 nữ}) = \frac{C^{3}_{6}}{C^{3}_{11}} = \frac{20}{165} = \frac{4}{33} \] d) Số cách chọn 3 bạn có cả nam và nữ Số cách chọn 3 bạn có cả nam và nữ là tổng số cách chọn trừ đi số cách chọn 3 nam và 3 nữ: \[ C^{3}_{11} - C^{3}_{5} - C^{3}_{6} = 165 - 10 - 20 = 135 \] Xác suất chọn 3 bạn có cả nam và nữ là: \[ P(\text{cả nam và nữ}) = \frac{135}{165} = \frac{9}{11} \] Kết luận a) Số phần tử của không gian mẫu là 165. b) Xác suất chọn 3 bạn nam là $\frac{2}{33}$. c) Xác suất chọn 3 bạn nữ là $\frac{4}{33}$. d) Số cách chọn 3 bạn có cả nam và nữ là 135. Câu 2: Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tìm số trung vị của mẫu số liệu. 3. Tìm số xuất hiện nhiều nhất (số mode) trong mẫu số liệu. Bước 1: Tìm trung bình cộng Trung bình cộng của một mẫu số liệu được tính bằng cách lấy tổng của tất cả các số trong mẫu chia cho số lượng các số trong mẫu. Tổng của các số trong mẫu là: \[ 6 + 5 + 6 + 7 + 8 + 4 + 6 + 5 + 4 = 51 \] Số lượng các số trong mẫu là 9. Trung bình cộng là: \[ \frac{51}{9} = 5.67 \] Bước 2: Tìm số trung vị Số trung vị là số ở giữa khi các số trong mẫu được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu số lượng các số trong mẫu là lẻ, số trung vị là số ở chính giữa. Nếu số lượng các số trong mẫu là chẵn, số trung vị là trung bình cộng của hai số ở chính giữa. Sắp xếp các số trong mẫu theo thứ tự tăng dần: \[ 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8 \] Vì số lượng các số trong mẫu là 9 (lẻ), số trung vị là số ở vị trí thứ 5: \[ 6 \] Bước 3: Tìm số xuất hiện nhiều nhất (số mode) Số mode là số xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. Trong mẫu số liệu này, số 6 xuất hiện nhiều nhất (3 lần). Kết luận - Trung bình cộng của mẫu số liệu là 5.67. - Số trung vị của mẫu số liệu là 6. - Số xuất hiện nhiều nhất (số mode) trong mẫu số liệu là 6. Đáp số: - Trung bình cộng: 5.67 - Số trung vị: 6 - Số mode: 6