Giúp mình với!

Câu 1. Để tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+3x}{x-2}$ với $\forall x\ne2$, ta sẽ áp dụng công thức tính đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức tính đạo hàm của thương hai hàm số là: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = x^2 + 3x \) - \( v = x - 2 \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = (x^2 + 3x)' = 2x + 3 \] \[ v' = (x - 2)' = 1 \] Bước 2: Áp dụng công thức tính đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left(\frac{x^2 + 3x}{x - 2}\right)' = \frac{(2x + 3)(x - 2) - (x^2 + 3x)(1)}{(x - 2)^2} \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và trừ trong tử số: \[ (2x + 3)(x - 2) = 2x^2 - 4x + 3x - 6 = 2x^2 - x - 6 \] \[ (x^2 + 3x)(1) = x^2 + 3x \] Tử số là: \[ 2x^2 - x - 6 - (x^2 + 3x) = 2x^2 - x - 6 - x^2 - 3x = x^2 - 4x - 6 \] Bước 4: Viết kết quả cuối cùng: \[ y' = \frac{x^2 - 4x - 6}{(x - 2)^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x}{x - 2} \) là: \[ y' = \frac{x^2 - 4x - 6}{(x - 2)^2} \] Câu 2. Để xác định các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) của hàm số \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\), ta sẽ sử dụng thông tin đã cho về các điểm mà đồ thị hàm số đi qua và đạo hàm của hàm số tại một điểm cụ thể. 1. Hàm số đi qua điểm \(A(1;0)\): Thay \(x = 1\) và \(f(1) = 0\) vào phương trình hàm số: \[ f(1) = a(1)^4 + b(1)^2 + c = a + b + c = 0 \] Ta có phương trình đầu tiên: \[ a + b + c = 0 \quad \text{(1)} \] 2. Hàm số đi qua điểm \(B(0;-5)\): Thay \(x = 0\) và \(f(0) = -5\) vào phương trình hàm số: \[ f(0) = a(0)^4 + b(0)^2 + c = c = -5 \] Ta có phương trình thứ hai: \[ c = -5 \quad \text{(2)} \] 3. Đạo hàm của hàm số tại điểm \(x = -1\) là \(-14\): Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)\): \[ f'(x) = 4ax^3 + 2bx \] Thay \(x = -1\) và \(f'(-1) = -14\) vào phương trình đạo hàm: \[ f'(-1) = 4a(-1)^3 + 2b(-1) = -4a - 2b = -14 \] Ta có phương trình thứ ba: \[ -4a - 2b = -14 \quad \text{(3)} \] 4. Giải hệ phương trình: Từ phương trình (2), ta có \(c = -5\). Thay \(c = -5\) vào phương trình (1): \[ a + b - 5 = 0 \implies a + b = 5 \quad \text{(4)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b = 5 \\ -4a - 2b = -14 \end{cases} \] Nhân phương trình (4) với 2: \[ 2a + 2b = 10 \quad \text{(5)} \] Cộng phương trình (3) và phương trình (5): \[ (-4a - 2b) + (2a + 2b) = -14 + 10 \implies -2a = -4 \implies a = 2 \] Thay \(a = 2\) vào phương trình (4): \[ 2 + b = 5 \implies b = 3 \] Vậy các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) là: \[ a = 2, \quad b = 3, \quad c = -5 \] Đáp số: \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\). Câu 3: Gọi \( A \) là sự kiện "Anh Lâm bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó". Có các trường hợp sau: - Trường hợp 1: Anh Lâm bị lây bệnh khi tiếp xúc lần đầu không đeo khẩu trang và lần thứ hai đeo khẩu trang. - Trường hợp 2: Anh Lâm bị lây bệnh khi tiếp xúc lần đầu đeo khẩu trang và lần thứ hai không đeo khẩu trang. Xác suất của mỗi trường hợp: - Xác suất của trường hợp 1: \( P_1 = 0,9 \times 0,2 = 0,18 \) - Xác suất của trường hợp 2: \( P_2 = 0,2 \times 0,9 = 0,18 \) Vậy xác suất anh Lâm bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó là: \[ P(A) = P_1 + P_2 = 0,18 + 0,18 = 0,36 \] Đáp số: 0,36 Câu 4. Để tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định chiều cao của khối chóp: - Khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông và các mặt bên là các tam giác đều. - Gọi đỉnh chóp là S và tâm của đáy là O. Chiều cao của khối chóp là đoạn thẳng SO. - Vì đáy là hình vuông, tâm O cũng là trung điểm của đường chéo của đáy. Độ dài đường chéo của đáy là \(2a\sqrt{2}\), do đó khoảng cách từ tâm O đến một đỉnh của đáy là \(\frac{2a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}\). 2. Tính chiều cao SO của khối chóp: - Xét tam giác SOA, trong đó SA = 2a và OA = a√2. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA: \[ SO^2 + OA^2 = SA^2 \] \[ SO^2 + (a\sqrt{2})^2 = (2a)^2 \] \[ SO^2 + 2a^2 = 4a^2 \] \[ SO^2 = 4a^2 - 2a^2 \] \[ SO^2 = 2a^2 \] \[ SO = a\sqrt{2} \] 3. Tính diện tích đáy của khối chóp: - Diện tích đáy là diện tích của hình vuông có cạnh 2a: \[ S_{đáy} = (2a)^2 = 4a^2 \] 4. Tính thể tích của khối chóp: - Công thức thể tích của khối chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times SO \] \[ V = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times a\sqrt{2} \] \[ V = \frac{4a^3\sqrt{2}}{3} \] Vậy thể tích của khối chóp đã cho là: \[ \boxed{\frac{4a^3\sqrt{2}}{3}} \]