thầy cô anh chị vào giải giúp em bài tập này với

Câu 13: a) Đúng vì cosx là hàm số tuần hoàn nên y = 3cosx + 2 cũng là hàm số tuần hoàn. b) Sai vì cosx là hàm số chẵn nên y = 3cosx + 2 cũng là hàm số chẵn. c) Sai vì giá trị nhỏ nhất của cosx là -1 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 3(-1) + 2 = -1. d) Đúng vì phương trình y = 5 tương đương với 3cosx + 2 = 5 hay cosx = 1. Trên đoạn [0; 5π], phương trình này có ba nghiệm là x = 0, x = 2π, x = 4π. Câu 14: Ta có: $u_{n+1}-u_n=5(n+1)-4-(5n-4)=5,$ suy ra dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng với công sai $d=5.$ Vậy khẳng định c) sai. Ta có $u_n=5n-4\geq u_1=1>0,$ suy ra dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới. Vậy khẳng định b) đúng. Từ đó suy ra khẳng định a) sai. Ta có $S_{100}=\frac{(u_1+u_{100})\times 100}{2}=\frac{(1+496)\times 100}{2}=24850.$ Vậy khẳng định d) đúng. Câu 15: a) Ta có $\lim_{x\rightarrow7}f(x)=\lim_{x\rightarrow7}\frac{x^2-3x-10}{x-5}=\lim_{x\rightarrow7}\frac{(x+2)(x-5)}{x-5}=\lim_{x\rightarrow7}(x+2)=9.$ Vậy khẳng định này đúng. b) Ta có $\lim_{x\rightarrow5^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow5^-}\frac{x^2-3x-10}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5^-}\frac{(x+2)(x-5)}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5^-}(x+2)=7.$ $\lim_{x\rightarrow5^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow5^+}(3x+a)=15+a.$ Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\lim_{x\rightarrow5^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow5^+}f(x)=f(5).$ Suy ra $15+a=7$ suy ra $a=-8.$ Vậy khẳng định này sai. c) Ta có $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2-3x-10}{x(x-5)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2-3x-10}{x^2-5x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1-\frac{3}{x}-\frac{10}{x^2}}{1-\frac{5}{x}}=1.$ Vậy khẳng định này sai. d) Với $a=-8$ ta có $f(5)=3.5+(-8)=7.$ Ta có $\lim_{x\rightarrow5^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow5^-}\frac{x^2-3x-10}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5^-}\frac{(x+2)(x-5)}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5^-}(x+2)=7.$ $\lim_{x\rightarrow5^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow5^+}(3x+a)=15+a=15+(-8)=7.$ Do đó $\lim_{x\rightarrow5^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow5^+}f(x)=f(5)$ nên hàm số đã cho liên tục tại $x=5.$ Vậy khẳng định này đúng. Câu 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) 1. Xác định mặt phẳng (SAC): Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng S, A, C. 2. Xác định mặt phẳng (SBD): Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng S, B, D. 3. Giao tuyến của hai mặt phẳng: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng đi qua điểm chung S và giao điểm của hai đường thẳng AC và BD trong mặt phẳng đáy ABCD. Vì ABCD là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại điểm O. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng SO. b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 1. Xác định mặt phẳng (SAD): Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng S, A, D. 2. Xác định mặt phẳng (SBC): Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng S, B, C. 3. Giao tuyến của hai mặt phẳng: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta cần tìm một đường thẳng đi qua S và song song với AB. Vì AB là một cạnh của hình bình hành ABCD, nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB. c) Giao điểm giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (SAD) 1. Xác định điểm M: M là trung điểm của CD, do đó M nằm trên đường thẳng CD. 2. Xác định đường thẳng BM: Đường thẳng BM đi qua B và M. 3. Xác định mặt phẳng (SAD): Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm S, A, D. 4. Giao điểm N: Để tìm giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD), ta cần tìm điểm N sao cho N đối xứng với A qua D. Do đó, N là điểm nằm trên đường thẳng BM và thỏa mãn điều kiện đối xứng này. d) Đường thẳng CD song song với mặt phẳng (SAB) 1. Xác định mặt phẳng (SAB): Mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm S, A, B. 2. Xác định đường thẳng CD: CD là một cạnh của hình bình hành ABCD. 3. Chứng minh song song: Vì ABCD là hình bình hành, nên CD song song với AB. Mặt khác, AB nằm trong mặt phẳng (SAB), do đó CD song song với mặt phẳng (SAB). Với các lập luận trên, chúng ta đã giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết và logic. Câu 17: Để tìm thời gian \( t \) khi cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên, ta giải phương trình: \[ h(t) = 40 \] \[ 30 + 20 \sin \left( \frac{\pi}{25} t + \frac{\pi}{3} \right) = 40 \] Bước 1: Chuyển vế để đơn giản hóa phương trình: \[ 20 \sin \left( \frac{\pi}{25} t + \frac{\pi}{3} \right) = 10 \] \[ \sin \left( \frac{\pi}{25} t + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] Bước 2: Tìm các giá trị của góc mà sin bằng \(\frac{1}{2}\): \[ \frac{\pi}{25} t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{\pi}{25} t + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] với \( k \) là số nguyên. Bước 3: Giải từng trường hợp: Trường hợp 1: \[ \frac{\pi}{25} t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \] \[ \frac{\pi}{25} t = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \] \[ \frac{\pi}{25} t = -\frac{\pi}{6} \] \[ t = -\frac{25}{6} \approx -4.17 \] (loại vì \( t \) phải dương) Trường hợp 2: \[ \frac{\pi}{25} t + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \] \[ \frac{\pi}{25} t = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \] \[ \frac{\pi}{25} t = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \] \[ \frac{\pi}{25} t = \frac{3\pi}{6} \] \[ \frac{\pi}{25} t = \frac{\pi}{2} \] \[ t = \frac{25}{2} = 12.5 \] Vậy, sau 12.5 giây, cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên. Đáp số: 12.5 giây. Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần xác định số lần vật đi qua vị trí cân bằng trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây. Phương trình dao động của vật là: \[ x = 1,5 \cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) \] Vị trí cân bằng là khi \( x = 0 \). Do đó, ta cần giải phương trình: \[ 1,5 \cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) = 0 \] Điều này tương đương với: \[ \cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) = 0 \] Giá trị của \( \cos \theta = 0 \) khi: \[ \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Thay \( \theta = \frac{\pi t}{4} \) vào, ta có: \[ \frac{\pi t}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \] Giải phương trình này để tìm \( t \): \[ \frac{\pi t}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ \pi t = 2\pi + 4k\pi \] \[ t = 2 + 4k \] Ta cần tìm các giá trị \( t \) trong khoảng từ 0 đến 20: \[ 0 \leq 2 + 4k \leq 20 \] Giải bất phương trình: \[ -2 \leq 4k \leq 18 \] \[ -0,5 \leq k \leq 4,5 \] Vì \( k \) là số nguyên, nên \( k \) có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, 4. Với mỗi giá trị của \( k \), ta có các giá trị \( t \) tương ứng: - \( k = 0 \): \( t = 2 \) - \( k = 1 \): \( t = 6 \) - \( k = 2 \): \( t = 10 \) - \( k = 3 \): \( t = 14 \) - \( k = 4 \): \( t = 18 \) Như vậy, vật đi qua vị trí cân bằng 5 lần trong khoảng từ 0 đến 20 giây. Câu 19: Số đồng xu ở mỗi tầng tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu \( u_1 = 4901 \) và công sai \( d = -100 \). Gọi \( u_n \) là số đồng xu ở tầng thứ \( n \). Ta có \( u_n = u_1 + (n-1)d \) Tổng số đồng xu trong \( n \) tầng đầu tiên là: \[ S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] \] Theo đề bài, tổng số đồng xu là 122550, ta có phương trình: \[ \frac{n}{2} [2 \times 4901 + (n-1)(-100)] = 122550 \] Giải phương trình này để tìm \( n \): \[ \frac{n}{2} [9802 - 100(n-1)] = 122550 \] \[ \frac{n}{2} [9802 - 100n + 100] = 122550 \] \[ \frac{n}{2} [9902 - 100n] = 122550 \] \[ n(9902 - 100n) = 245100 \] \[ 9902n - 100n^2 = 245100 \] \[ 100n^2 - 9902n + 245100 = 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ 50n^2 - 4951n + 122550 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 50 \), \( b = -4951 \), \( c = 122550 \): \[ n = \frac{4951 \pm \sqrt{4951^2 - 4 \times 50 \times 122550}}{2 \times 50} \] \[ n = \frac{4951 \pm \sqrt{24512401 - 24510000}}{100} \] \[ n = \frac{4951 \pm \sqrt{2401}}{100} \] \[ n = \frac{4951 \pm 49}{100} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ n = \frac{4951 + 49}{100} = \frac{5000}{100} = 50 \] \[ n = \frac{4951 - 49}{100} = \frac{4902}{100} = 49.02 \] Vì \( n \) phải là số nguyên dương, nên ta chọn \( n = 50 \). Vậy mô hình Kim tự tháp này có tất cả 50 tầng.