Cho phươngf trình x^2+2(m-1)x+4m-11=0( m là tham số).Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn hệ thưc: 2(x1-1)^2+(6-x2)(x1x2+11)=72

Question

Hahahahahah · Accepted Answer

{"userId":5174209,"userName":"ヽ (´ ー `) ┌"}m=2

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm:
   Phương trình $x^2 + 2(m-1)x + 4m - 11 = 0$ có hai nghiệm khi và chỉ khi:
   $$
   \Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m - 11) \geq 0
   $$
   $$
   4(m-1)^2 - 4(4m - 11) \geq 0
   $$
   $$
   4(m^2 - 2m + 1) - 16m + 44 \geq 0
   $$
   $$
   4m^2 - 8m + 4 - 16m + 44 \geq 0
   $$
   $$
   4m^2 - 24m + 48 \geq 0
   $$
   $$
   m^2 - 6m + 12 \geq 0
   $$

Ta thấy rằng $m^2 - 6m + 12$ luôn dương vì nó là một tam thức bậc hai có $a = 1 > 0$ và $\Delta&#x27; = (-3)^2 - 12 = 9 - 12 = -3 < 0$. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm.

2. Áp dụng hệ thức Viète:
   Với hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, theo hệ thức Viète ta có:
   $$
   x_1 + x_2 = -2(m-1)
   $$
   $$
   x_1 x_2 = 4m - 11
   $$

3. Thay vào điều kiện đã cho:
   Ta có điều kiện:
   $$
   2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2)(x_1 x_2 + 11) = 72
   $$

Thay $x_1 x_2 = 4m - 11$ vào:
   $$
   2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2)((4m - 11) + 11) = 72
   $$
   $$
   2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2)(4m) = 72
   $$

4. Giải phương trình:
   Ta cần tìm $m$ sao cho phương trình trên đúng. Để làm điều này, ta sẽ thử các giá trị $m$ cụ thể hoặc sử dụng phương pháp thử nghiệm.

Giả sử $m = 3$:
   $$
   x_1 + x_2 = -2(3-1) = -4
   $$
   $$
   x_1 x_2 = 4 \cdot 3 - 11 = 1
   $$

Thay vào điều kiện:
   $$
   2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2)(4 \cdot 3) = 72
   $$
   $$
   2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2) \cdot 12 = 72
   $$

Ta thấy rằng nếu $x_1 = -2$ và $x_2 = -2$, thì:
   $$
   2(-2 - 1)^2 + (6 - (-2)) \cdot 12 = 2 \cdot 9 + 8 \cdot 12 = 18 + 96 = 114 \neq 72
   $$

Do đó, ta cần kiểm tra lại các giá trị khác hoặc sử dụng phương pháp khác để tìm $m$.

5. Kiểm tra lại các giá trị:
   Ta thử $m = 2$:
   $$
   x_1 + x_2 = -2(2-1) = -2
   $$
   $$
   x_1 x_2 = 4 \cdot 2 - 11 = -3
   $$

Thay vào điều kiện:
   $$
   2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2)(4 \cdot 2) = 72
   $$
   $$
   2(x_1 - 1)^2 + (6 - x_2) \cdot 8 = 72
   $$

Ta thấy rằng nếu $x_1 = -3$ và $x_2 = 1$, thì:
   $$
   2(-3 - 1)^2 + (6 - 1) \cdot 8 = 2 \cdot 16 + 5 \cdot 8 = 32 + 40 = 72
   $$

Vậy $m = 2$ thỏa mãn điều kiện.

Đáp số: $m = 2$.