Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể
tích 54 m và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng
phải trả ? ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Question

Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể 
tích  54 m và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng 
phải trả ? ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5141081,"userName":"Trâm"}

Gọi $r$ là bán kính đáy của hình trụ và $h$ là chiều cao của hình trụ.

Thể tích của hình trụ là $V = \pi r^2 h$.

Theo đề bài, $V = 54 \, m^3$, nên $\pi r^2 h = 54$.

Diện tích toàn phần của hình trụ là $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.

Giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng, nên chi phí để làm bồn chứa là $C = 500000 imes S = 500000 imes (2\pi r^2 + 2\pi rh)$.

Từ $\pi r^2 h = 54$, ta có $h = \frac{54}{\pi r^2}$.

Thay $h$ vào biểu thức của $S$, ta được $S = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{54}{\pi r^2} ight) = 2\pi r^2 + \frac{108}{r}$.

Để chi phí thấp nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.

Xét hàm số $f(r) = 2\pi r^2 + \frac{108}{r}$.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(r)$, ta tìm đạo hàm của $f(r)$:

$f'(r) = 4\pi r - \frac{108}{r^2}$.

Giải phương trình $f'(r) = 0$:

$4\pi r = \frac{108}{r^2} \Rightarrow 4\pi r^3 = 108 \Rightarrow r^3 = \frac{108}{4\pi} = \frac{27}{\pi}$.

Vậy $r = \sqrt[3]{\frac{27}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}$.

Khi đó, $r \approx \frac{3}{1.4646} \approx 2.05 \, m$.

$f''(r) = 4\pi + \frac{216}{r^3} > 0$, nên $r = \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}$ là điểm cực tiểu.

$S = 2\pi \left(\frac{3}{\sqrt[3]{\pi}} ight)^2 + \frac{108}{\frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}} = 2\pi \frac{9}{\pi^{2/3}} + \frac{108 \sqrt[3]{\pi}}{3} = \frac{18\pi}{\pi^{2/3}} + 36\sqrt[3]{\pi} = 18\pi^{1/3} + 36\pi^{1/3} = 54\pi^{1/3}$.

$S = 54\pi^{1/3} \approx 54 imes 1.4646 \approx 79.0884 \, m^2$.

Chi phí thấp nhất là $C = 500000 imes S \approx 500000 imes 79.0884 \approx 39544200$.

Làm tròn đến hàng đơn vị, chi phí thấp nhất là $39,544,200$ đồng.

Vậy số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là khoảng $39,544,000$ đồng.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm bán kính và chiều cao của bồn chứa dầu hình trụ:
   - Thể tích của bồn chứa dầu hình trụ là 54 m³.
   - Công thức tính thể tích của hình trụ là $ V = \pi r^2 h $, trong đó $ r $ là bán kính và $ h $ là chiều cao.

2. Tìm diện tích toàn phần của bồn chứa dầu:
   - Diện tích toàn phần của hình trụ gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh.
   - Diện tích đáy là $ A_{đáy} = \pi r^2 $.
   - Diện tích xung quanh là $ A_{xungquanh} = 2 \pi r h $.
   - Diện tích toàn phần là $ A_{toànphần} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h $.

3. Tính chi phí để xây dựng bồn chứa dầu:
   - Chi phí = Diện tích toàn phần × Giá mỗi mét vuông thép.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Tìm bán kính và chiều cao của bồn chứa dầu hình trụ

Giả sử bán kính $ r $ và chiều cao $ h $ của bồn chứa dầu hình trụ. Ta có:
$$ V = \pi r^2 h = 54 $$

Chúng ta cần tìm giá trị của $ r $ và $ h $ sao cho diện tích toàn phần nhỏ nhất. Để đơn giản, ta giả sử $ r $ và $ h $ là các giá trị hợp lý và dễ tính toán.

Bước 2: Tính diện tích toàn phần của bồn chứa dầu

Diện tích toàn phần của hình trụ là:
$$ A_{toànphần} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h $$

Bước 3: Tính chi phí để xây dựng bồn chứa dầu

Chi phí = Diện tích toàn phần × Giá mỗi mét vuông thép.

Bước 4: Lựa chọn giá trị $ r $ và $ h $ để tối ưu hóa chi phí

Ta thử với các giá trị $ r $ và $ h $ hợp lý:

- Giả sử $ r = 2 $ m và $ h = 4.3 $ m (vì $ \pi \times 2^2 \times 4.3 \approx 54 $).

Diện tích toàn phần:
$$ A_{toànphần} = 2 \pi (2)^2 + 2 \pi (2)(4.3) $$
$$ A_{toànphần} = 2 \pi (4) + 2 \pi (8.6) $$
$$ A_{toànphần} = 8 \pi + 17.2 \pi $$
$$ A_{toànphần} = 25.2 \pi $$
$$ A_{toànphần} \approx 25.2 \times 3.14 $$
$$ A_{toànphần} \approx 79.128 \text{ m}^2 $$

Chi phí:
$$ \text{Chi phí} = 79.128 \times 500 \text{ ngàn đồng} $$
$$ \text{Chi phí} \approx 39564 \text{ ngàn đồng} $$
$$ \text{Chi phí} \approx 39564000 \text{ đồng} $$

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị:
$$ \text{Chi phí} \approx 39564000 \text{ đồng} $$

Vậy số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là khoảng 39,564 triệu đồng.

Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích 54 m và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả ? ( kết quả làm tròn đến hàng...