giúp em với

Câu 1 1) Để đồ thị hàm số $y=(m-1)x^2$ đi qua điểm $A(1;2)$, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình hàm số: \[ 2 = (m-1) \cdot 1^2 \] \[ 2 = m - 1 \] \[ m = 3 \] 2) Giải các phương trình: a) $3x^2 - 4x + 1 = 0$ Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} \] \[ x = \frac{4 \pm 2}{6} \] \[ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] b) $2x^2 - \frac{1}{2}x = 0$ Ta nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 4x^2 - x = 0 \] Nhân cả hai vế với x: \[ x(4x - 1) = 0 \] Từ đây, ta có hai trường hợp: \[ x = 0 \] \[ 4x - 1 = 0 \] \[ 4x = 1 \] \[ x = \frac{1}{4} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{1}{4} \] Câu 2 a) Phương trình $x^2 - x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ khi $\Delta = 1 - 4m > 0$, tức là $m < \frac{1}{4}$. Theo hệ thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 1 \] \[ x_1 x_2 = m \] Ta cần tìm $m$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 = 1$. Ta có: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 1^2 - 2m = 1 - 2m \] Theo đề bài, ta có: \[ 1 - 2m = 1 \] \[ 2m = 0 \] \[ m = 0 \] Vậy $m = 0$ thỏa mãn điều kiện $m < \frac{1}{4}$. b) Gọi thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc là $t$ giờ, thì thời gian học sinh lớp 9B làm xong công việc là $t + 2$ giờ. Trong 1 giờ, học sinh lớp 9A làm được $\frac{1}{t}$ phần công việc, học sinh lớp 9B làm được $\frac{1}{t+2}$ phần công việc. Sau 2 giờ 55 phút (tức là $\frac{17}{6}$ giờ), cả hai lớp làm xong công việc, nên ta có phương trình: \[ \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{t+2} \right) \cdot \frac{17}{6} = 1 \] Tìm $t$: \[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t+2} = \frac{6}{17} \] \[ \frac{(t+2) + t}{t(t+2)} = \frac{6}{17} \] \[ \frac{2t + 2}{t^2 + 2t} = \frac{6}{17} \] \[ 17(2t + 2) = 6(t^2 + 2t) \] \[ 34t + 34 = 6t^2 + 12t \] \[ 6t^2 - 22t - 34 = 0 \] \[ 3t^2 - 11t - 17 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 204}}{6} = \frac{11 \pm \sqrt{325}}{6} = \frac{11 \pm 5\sqrt{13}}{6} \] Chọn nghiệm dương: \[ t = \frac{11 + 5\sqrt{13}}{6} \] Vậy thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc là $\frac{11 + 5\sqrt{13}}{6}$ giờ, và thời gian học sinh lớp 9B làm xong công việc là $\frac{11 + 5\sqrt{13}}{6} + 2$ giờ. Câu 3 a) Để lập bảng tần số và tần số tương đối cho dãy dữ liệu điểm kiểm tra môn Toán của 20 học sinh lớp 9, chúng ta thực hiện các bước sau: - Đếm số lần xuất hiện của mỗi điểm số. - Tính tần số tương đối bằng cách chia số lần xuất hiện của mỗi điểm số cho tổng số học sinh. Bảng tần số và tần số tương đối: | Điểm số | Tần số | Tần số tương đối | |---------|--------|------------------| | 5 | 1 | $\frac{1}{20} = 0.05$ | | 6 | 3 | $\frac{3}{20} = 0.15$ | | 7 | 5 | $\frac{5}{20} = 0.25$ | | 8 | 7 | $\frac{7}{20} = 0.35$ | | 9 | 2 | $\frac{2}{20} = 0.10$ | | 10 | 2 | $\frac{2}{20} = 0.10$ | b) Để mô tả không gian mẫu của phép thử và cho biết không gian mẫu có bao nhiêu phần tử, chúng ta thực hiện các bước sau: - Xác định các kết quả có thể xảy ra khi gieo đồng xu và xúc xắc. - Kết hợp các kết quả này để tạo thành các cặp (kết quả của đồng xu, kết quả của xúc xắc). Các kết quả có thể xảy ra khi gieo đồng xu: - Mặt ngửa (H) - Mặt sấp (T) Các kết quả có thể xảy ra khi gieo xúc xắc: - 1, 2, 3, 4, 5, 6 Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các cặp kết quả có thể xảy ra: {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)} Số phần tử trong không gian mẫu là: 2 (kết quả của đồng xu) × 6 (kết quả của xúc xắc) = 12 Đáp số: a) Bảng tần số và tần số tương đối đã được lập ở trên. b) Không gian mẫu có 12 phần tử. Câu 4 a) Ta có $\widehat{BDM}=90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\widehat{BCM}=90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Từ đó ta có tứ giác BCDM nội tiếp đường tròn (tổng hai góc đối bằng 180°). b) Ta có $\widehat{ANM}=\widehat{CBM}$ (hai góc so le trong) và $\widehat{CBM}=\widehat{ACM}$ (cùng chắn cung AM). Từ đó ta có $\widehat{ANM}=\widehat{ACM}$. Câu 5 a) Diện tích toàn phần của cái mũ là tổng diện tích của hai mặt: mặt đáy và mặt xung quanh. Diện tích đáy của cái mũ là: \[ S_{đáy} = \pi r^2 = 3,14 \times 5^2 = 3,14 \times 25 = 78,5 \text{ cm}^2 \] Diện tích xung quanh của cái mũ là: \[ S_{xung quanh} = \pi r l = 3,14 \times 5 \times 13 = 3,14 \times 65 = 204,1 \text{ cm}^2 \] Tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ là: \[ S_{tổng} = S_{đáy} + S_{xung quanh} = 78,5 + 204,1 = 282,6 \text{ cm}^2 \] b) Biết rằng mỗi mét vuông vải dùng để làm mũ có giá 120 000 đồng. Ta chuyển đổi diện tích từ cm² sang m²: \[ 282,6 \text{ cm}^2 = 282,6 \div 10000 = 0,02826 \text{ m}^2 \] Giá tiền của vải cần dùng là: \[ 0,02826 \times 120000 = 3391,2 \text{ đồng} \] Đáp số: a) Tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ là 282,6 cm². b) Giá tiền của vải cần dùng là 3391,2 đồng. Câu 6 Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Ta có: \[ \left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) \left( a(b+c) + b(c+a) + c(a+b) \right) \geq (a + b + c)^2 \] Bước 2: Tính tổng các biểu thức trong ngoặc: \[ a(b+c) + b(c+a) + c(a+b) = ab + ac + bc + ba + ca + cb = 2(ab + bc + ca) \] Bước 3: Thay vào bất đẳng thức: \[ \left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) \cdot 2(ab + bc + ca) \geq (a + b + c)^2 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho $2(ab + bc + ca)$: \[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{(a + b + c)^2}{2(ab + bc + ca)} \] Bước 5: Ta cần chứng minh: \[ \frac{(a + b + c)^2}{2(ab + bc + ca)} \geq \frac{3}{2} \] Bước 6: Nhân cả hai vế với $2(ab + bc + ca)$: \[ (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca) \] Bước 7: Mở rộng và sắp xếp lại: \[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \geq 3ab + 3bc + 3ca \] \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \] Bước 8: Ta thấy rằng bất đẳng thức trên đúng theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân: \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} \] Đáp số: $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$