Cho tam giác ABC,M là điểm di chuyển trên đoạn BC.Từ M kẻ MD song song với AC, ME song song với AB (D thuộc AB; E thuộc AC).Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ADME lớn nhất.

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5045803,"userName":"minhthu_"}

Gọi $h$ là chiều cao của $ riangle ABC$ ứng với cạnh $BC$.

Gọi $S_{ABC}$ là diện tích $ riangle ABC$, $S_{ADME}$ là diện tích tứ giác $ADME$.

Ta có: $MD \parallel AC$, $ME \parallel AB$ nên tứ giác $ADME$ là hình bình hành.

Do đó $AD = ME$, $AE = MD$.

Vì $MD \parallel AC$ nên $ riangle BMD \sim riangle BAC$.

Do đó $\frac{MD}{AC} = \frac{BM}{BC}$.

Vì $ME \parallel AB$ nên $ riangle CME \sim riangle CAB$.

Do đó $\frac{ME}{AB} = \frac{CM}{CB}$.

Mặt khác, $BM + CM = BC$

Diện tích tứ giác $ADME$ là

$S_{ADME} = AD \cdot AE \cdot \sin{A} = MD \cdot ME \cdot \sin{A} = \frac{BM}{BC} \cdot AC \cdot \frac{CM}{CB} \cdot AB \cdot \sin{A} = \frac{BM \cdot CM}{BC^2} \cdot 2 S_{ABC}$

$S_{ADME}$ đạt giá trị lớn nhất khi tích $BM \cdot CM$ lớn nhất.

Ta có

$BC^2 = (BM+CM)^2 = BM^2 + 2 BM \cdot CM + CM^2 = (BM-CM)^2 + 4 BM \cdot CM \geq 4 BM \cdot CM$.

Suy ra $BM \cdot CM \leq \frac{BC^2}{4}$.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $BM=CM=\frac{BC}{2}$.

Hay $M$ là trung điểm của $BC$.

Khi đó $S_{ADME} = \frac{(\frac{BC}{2})^2}{BC^2} \cdot 2 S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

Vậy diện tích tứ giác $ADME$ lớn nhất khi $M$ là trung điểm của $BC$ và $S_{ADME} = \frac{1}{2}S_{ABC}$.