hahsbsbsbdbbdj

Câu 1. Để rút gọn biểu thức \( P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{x} \) với \( x > 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại căn thức dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}} \] 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ P = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \] 3. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: \[ x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} = x^{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)} \] 4. Tính tổng các số mũ: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] 5. Viết kết quả cuối cùng: \[ P = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \] Vậy, biểu thức \( P \) được rút gọn thành: \[ P = \sqrt{x} \] Đáp án đúng là: \( A.~P = \sqrt{x} \). Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số $y = \log_5(4x - x^2)$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: \[ 4x - x^2 > 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình \( 4x - x^2 > 0 \). Ta viết lại bất phương trình dưới dạng: \[ x(4 - x) > 0 \] Bước 2: Tìm các điểm làm thay đổi dấu của bất phương trình. Phương trình \( x(4 - x) = 0 \) có hai nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = 4 \). Bước 3: Xác định các khoảng để kiểm tra dấu của bất phương trình. Ta xét các khoảng: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 4) \), và \( (4, +\infty) \). - Trong khoảng \( (-\infty, 0) \), chọn \( x = -1 \): \[ (-1)(4 - (-1)) = (-1)(5) < 0 \] - Trong khoảng \( (0, 4) \), chọn \( x = 2 \): \[ (2)(4 - 2) = (2)(2) > 0 \] - Trong khoảng \( (4, +\infty) \), chọn \( x = 5 \): \[ (5)(4 - 5) = (5)(-1) < 0 \] Bước 4: Kết luận tập xác định. Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( x(4 - x) > 0 \) chỉ đúng trong khoảng \( (0, 4) \). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \log_5(4x - x^2) \) là: \[ D = (0, 4) \] Đáp án đúng là: \( A.~D = (0, 4) \). Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A' đều song song với nhau và vuông góc với các mặt của lập phương. Ta xét góc giữa hai đường thẳng BA' và CD: - Đường thẳng BA' nằm trong mặt phẳng ABB'A'. - Đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng ABCD. Do đó, để tìm góc giữa hai đường thẳng này, ta cần tìm một đường thẳng song song với CD và nằm trong mặt phẳng chứa BA'. Ta chọn đường thẳng A'D' vì A'D' song song với CD. Góc giữa BA' và CD sẽ bằng góc giữa BA' và A'D'. Ta vẽ hình và xét tam giác A'BD': - Tam giác A'BD' là tam giác đều vì các cạnh của nó đều bằng nhau (cạnh lập phương). Vì vậy, góc giữa BA' và A'D' (hay CD) là góc của tam giác đều, tức là 60°. Đáp án đúng là: $B.~60^0.$ Câu 4. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao: Vì \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \) là đường cao hạ từ đỉnh \( S \) xuống mặt phẳng (ABC). 2. Tìm hình chiếu của điểm \( C \) trên mặt phẳng (ABC): Gọi \( H \) là hình chiếu của \( C \) trên đường thẳng \( SA \). Do \( SA \perp (ABC) \), nên \( H \) nằm trên \( A \). 3. Tính khoảng cách từ \( C \) đến \( A \): Vì tam giác \( ABC \) đều cạnh \( a \), nên \( AC = a \). 4. Tính khoảng cách từ \( S \) đến \( C \): Ta có: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] 5. Tính góc giữa đường thẳng \( SC \) và mặt phẳng (ABC): Gọi góc giữa đường thẳng \( SC \) và mặt phẳng (ABC) là \( \theta \). Ta có: \[ \sin(\theta) = \frac{SA}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Từ đó suy ra: \[ \theta = 45^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \( SC \) và mặt phẳng (ABC) là \( 45^\circ \). Đáp án đúng là: \( B.~45^0 \). Câu 5. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') có giao tuyến là đường thẳng AC. 2. Chọn một đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến AC: - Chọn đường thẳng BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC (vì ABCD là hình vuông). - Chọn đường thẳng AA' nằm trong mặt phẳng (ACC'A') và vuông góc với AC (vì AA' là cạnh đứng của hình lập phương). 3. Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AA': - Vì BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên góc giữa BD và AA' chính là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'). - Ta thấy rằng AA' vuông góc với cả BD và AC, do đó góc giữa BD và AA' là góc vuông (90°). 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là góc giữa hai đường thẳng BD và AA', tức là góc 90°. Do đó, góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là \(90^\circ\). Đáp án đúng là: \(D.~90^\circ\). Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Khi đó, ta xét hai điểm A và C trên đáy hình bình hành ABCD. Vì ABCD là hình bình hành nên AC là đường chéo của nó. Đường chéo AC sẽ chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau, tức là tam giác ABC và tam giác ADC. Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) sẽ bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). Điều này là do tính chất đối xứng của hình bình hành và vị trí của các đỉnh trong hình chóp. Vì vậy, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) cũng sẽ là $\frac{6a}{7}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{6a}{7}$. Câu 7. Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta có thể coi nó như một khối chóp với đáy là tam giác vuông ABC và chiều cao là AD. Bước 1: Tính diện tích đáy S của tam giác ABC. - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, do đó diện tích đáy S của tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 \] Bước 2: Tính thể tích V của khối chóp ABCD. - Thể tích V của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times AD \] - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times 3a = \frac{1}{3} \times 6a^3 = 2a^3 \] Vậy thể tích V của khối tứ diện ABCD là: \[ V = 2a^3 \] Đáp án đúng là: C. \( V = 2a^3 \).