Hãy chọn chữ cái đứng trước phương án trả lời đúng và ghi chữ cái đó vào bài làm. Câu 1. Hệ phương trình (x-2y=5 3x+2y=-1 có nghiệm (x3). Giá trị của biểu thức P=x-2y là B.5. D. 1. C. x <2. D. x <...

Câu 1. Để giải hệ phương trình \(x - 2y = 5\) và \(3x + 2y = -1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Cộng hai phương trình lại để loại bỏ biến \(y\): \[ (x - 2y) + (3x + 2y) = 5 + (-1) \] \[ x + 3x = 4 \] \[ 4x = 4 \] \[ x = 1 \] 2. Thay giá trị \(x = 1\) vào phương trình \(x - 2y = 5\) để tìm \(y\): \[ 1 - 2y = 5 \] \[ -2y = 5 - 1 \] \[ -2y = 4 \] \[ y = -2 \] 3. Kiểm tra nghiệm \((x, y) = (1, -2)\) vào phương trình \(3x + 2y = -1\): \[ 3(1) + 2(-2) = 3 - 4 = -1 \] Nghiệm này thỏa mãn phương trình. 4. Tính giá trị của biểu thức \(P = x - 2y\): \[ P = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P = x - 2y\) là 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 2. Để giải bất phương trình \(3 - 2x - 1 < 0\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức: \[ 3 - 2x - 1 < 0 \] Rút gọn các hằng số: \[ 2 - 2x < 0 \] 2. Di chuyển các hạng tử: Di chuyển 2 sang phía bên phải: \[ -2x < -2 \] 3. Chia cả hai vế cho -2: Chú ý rằng khi chia cho một số âm, dấu bất đẳng thức sẽ đổi chiều: \[ x > 1 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x > 1 \] Đáp án đúng là: A. \(x > 1\). Câu 3. Để xác định phương trình nào có nghiệm kép, ta cần kiểm tra xem phương trình có dạng ax² + bx + c = 0 có biệt thức (Δ) bằng không hay không. Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép. A. Phương trình x² + 6x - 1 = 0 Biệt thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40 \] Vì Δ = 40 > 0, phương trình này có hai nghiệm phân biệt. B. Phương trình x² + 6x = 0 Biệt thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 36 - 0 = 36 \] Vì Δ = 36 > 0, phương trình này cũng có hai nghiệm phân biệt. Như vậy, cả hai phương trình đều không có nghiệm kép. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. 1. Xác định các yếu tố: - Chiều dài của thang là 4,5m. - Góc giữa thang và tường là 32°. - Chúng ta cần tìm khoảng cách từ chân thang đến chân tường, tức là chiều dài của cạnh kề với góc 32°. 2. Áp dụng công thức tỉ số lượng giác: - Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc 32° là cos(32°) = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{hypotenuse}}. - Ở đây, hypotenuse là chiều dài của thang (4,5m). 3. Tính khoảng cách từ chân thang đến chân tường: - cos(32°) = \frac{\text{cạnh kề}}{4,5}. - Vậy cạnh kề = 4,5 × cos(32°). 4. Tìm giá trị của cos(32°): - cos(32°) ≈ 0,848. 5. Thay giá trị vào công thức: - Cạnh kề = 4,5 × 0,848 ≈ 3,816. 6. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: - Kết quả làm tròn là 3,8m. Vậy khoảng cách từ chân thang đến chân tường là 3,8m. Đáp án đúng là: A. 3,8m. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và đường tròn ngoại tiếp. 1. Tam giác ABC đều có tất cả các góc bằng nhau, tức là mỗi góc của tam giác đều bằng 60°. 2. Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên tâm O của đường tròn cũng là tâm của tam giác đều ABC. 3. Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp cũng là giao điểm của các đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác của các góc. Do đó, góc BOC là góc ở tâm của đường tròn, và nó chắn cung BC. 4. Số đo của góc ở tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều bằng gấp đôi số đo của góc nội tiếp chắn cùng cung. Vì góc BAC là góc nội tiếp chắn cung BC và góc BAC = 60°, nên góc BOC = 2 × 60° = 120°. Vậy số đo của góc BOC là 120°. Đáp án đúng là: A. 120°. Câu 6. Để tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn, chúng ta cần tính diện tích của tấm khăn vải hình tròn và diện tích của mặt bàn hình tròn, sau đó lấy diện tích của tấm khăn vải trừ đi diện tích của mặt bàn. Bước 1: Tính diện tích của tấm khăn vải hình tròn. - Đường kính của tấm khăn vải là 1,8m, nên bán kính của nó là: \[ r_{vải} = \frac{1,8}{2} = 0,9 \text{ m} \] - Diện tích của tấm khăn vải là: \[ S_{vải} = \pi \times r_{vải}^2 = \pi \times (0,9)^2 = \pi \times 0,81 \approx 2,54 \text{ m}^2 \] Bước 2: Tính diện tích của mặt bàn hình tròn. - Đường kính của mặt bàn là 1,4m, nên bán kính của nó là: \[ r_{bàn} = \frac{1,4}{2} = 0,7 \text{ m} \] - Diện tích của mặt bàn là: \[ S_{bàn} = \pi \times r_{bàn}^2 = \pi \times (0,7)^2 = \pi \times 0,49 \approx 1,54 \text{ m}^2 \] Bước 3: Tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn. - Diện tích phần vải rủ xuống mép bàn là: \[ S_{rủ} = S_{vải} - S_{bàn} = 2,54 - 1,54 = 1,00 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích phần vải rủ xuống mép bàn là 1,00 m². Đáp án đúng là: B. 0,50 m². Diện tích: 1,01 m². Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng các cặp học sinh có thể được chọn từ nhóm thứ nhất và nhóm thứ hai. Nhóm thứ nhất có 3 học sinh nam: Đức, Hoàng và Mạnh. Nhóm thứ hai có 4 học sinh nữ: Vân, Chi, Minh và Châu. Phép thử yêu cầu chọn ngẫu nhiên một học sinh từ nhóm thứ nhất và một học sinh từ nhóm thứ hai. Ta sẽ tính số cặp học sinh có thể tạo thành từ hai nhóm này. Mỗi học sinh nam trong nhóm thứ nhất có thể kết hợp với mỗi học sinh nữ trong nhóm thứ hai. Do đó, số cặp học sinh có thể tạo thành là: 3 học sinh nam × 4 học sinh nữ = 12 cặp học sinh. Vậy không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử. Đáp án đúng là: B. 12. Câu 8. Các số tự nhiên từ 1 đến 20 mà chia 7 dư 1 là: 1, 8, 15. Tổng cộng có 3 số thỏa mãn điều kiện trên. Xác suất của biến cố "Số xuất hiện trên viên bị được lấy ra chia 7 dư 1" là: \[ \frac{3}{20} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{3}{20}$ Bài 1. a) Tính giá trị biểu thức \( A = \frac{(2025 + \sqrt{2024}) - 2025 - 2}{2\sqrt{2} - 1} \) Đầu tiên, ta thực hiện phép trừ trong tử số: \[ (2025 + \sqrt{2024}) - 2025 - 2 = \sqrt{2024} - 2 \] Vậy biểu thức \( A \) trở thành: \[ A = \frac{\sqrt{2024} - 2}{2\sqrt{2} - 1} \] b) Chứng minh đẳng thức \( (x + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}) = 0 \) Ta thấy rằng: \[ (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}) = 0 \] Nhân với bất kỳ biểu thức nào cũng sẽ bằng 0: \[ (x + \sqrt{x+1}) \cdot 0 = 0 \] Vậy đẳng thức đã cho đúng. Đáp số: a) \( A = \frac{\sqrt{2024} - 2}{2\sqrt{2} - 1} \) b) Đẳng thức \( (x + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2}) = 0 \) được chứng minh đúng. Bài 3. a) Vẽ đồ thị hàm số y = -x Đồ thị hàm số y = -x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0) và có góc nghiêng 45° với trục Ox. b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x = √2. Thay x = √2 vào phương trình y = -x, ta được: y = -(√2) = -√2 Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x = √2 là (√2, -√2). c) Biết phương trình x² - 4x - 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁ và x₂. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức B = (x₁ - x₂)² + (-2). Áp dụng công thức Viète cho phương trình bậc hai x² - 4x - 2 = 0, ta có: x₁ + x₂ = 4 x₁ x₂ = -2 Ta cần tính giá trị của biểu thức B = (x₁ - x₂)² + (-2). B = (x₁ - x₂)² + (-2) = (x₁ - x₂)² - 2 Áp dụng hằng đẳng thức (a - b)² = a² - 2ab + b², ta có: (x₁ - x₂)² = x₁² - 2x₁x₂ + x₂² Do đó: B = x₁² - 2x₁x₂ + x₂² - 2 Theo công thức Viète, ta biết: x₁ + x₂ = 4 x₁ x₂ = -2 Ta cũng biết rằng: (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² Thay x₁ + x₂ = 4 vào, ta có: 4² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² 16 = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² Do đó: x₁² + x₂² = 16 - 2x₁x₂ Thay x₁ x₂ = -2 vào, ta có: x₁² + x₂² = 16 - 2(-2) = 16 + 4 = 20 Vậy: B = x₁² - 2x₁x₂ + x₂² - 2 = 20 - 2(-2) - 2 = 20 + 4 - 2 = 22 Đáp số: B = 22 Bài 4. Gọi số thí sinh nộp 2 tờ giấy thi là x (thí sinh, điều kiện: x ≥ 0 và x ≤ 24). Số thí sinh nộp 3 tờ giấy thi là 24 - x (thí sinh). Tổng số tờ giấy thi thu về là 57 tờ, ta có phương trình: \[ 2x + 3(24 - x) = 57 \] Giải phương trình: \[ 2x + 72 - 3x = 57 \] \[ -x + 72 = 57 \] \[ -x = 57 - 72 \] \[ -x = -15 \] \[ x = 15 \] Vậy số thí sinh nộp 2 tờ giấy thi là 15 thí sinh. Số thí sinh nộp 3 tờ giấy thi là: \[ 24 - 15 = 9 \text{ thí sinh} \] Đáp số: 15 thí sinh nộp 2 tờ giấy thi, 9 thí sinh nộp 3 tờ giấy thi. Bài 5. a) Tính thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc. Thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc chính là thể tích của hình trụ có bán kính đáy bằng 6 cm và chiều cao bằng 1 cm. \[ V_{nước} = \pi r^2 h = \pi \times 6^2 \times 1 = 36\pi \text{ (cm}^3) \] b) Tính bán kính R của viên bị mà bạn Nam đã thả vào cốc. Viên bị thủy tinh hình cầu có thể tích bằng thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc. \[ V_{viên bị} = V_{nước} = 36\pi \text{ (cm}^3) \] Thể tích của một hình cầu được tính theo công thức: \[ V_{viên bị} = \frac{4}{3} \pi R^3 \] Bằng cách đặt thể tích của viên bị bằng thể tích của phần nước đã dâng lên, ta có: \[ \frac{4}{3} \pi R^3 = 36\pi \] Chia cả hai vế cho \(\pi\): \[ \frac{4}{3} R^3 = 36 \] Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{4}\): \[ R^3 = 36 \times \frac{3}{4} = 27 \] Lấy căn bậc ba của cả hai vế: \[ R = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ (cm)} \] Đáp số: a) Thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc là \(36\pi \text{ cm}^3\). b) Bán kính của viên bị là 3 cm. Bài 6. a) Ta có MB và MC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OB ⊥ MB và OC ⊥ MC. Do đó, bốn điểm B, O, C, M cùng thuộc một đường tròn (gọi là đường tròn (O')) và OM là đường kính của đường tròn (O'). Vì OM là đường kính của đường tròn (O'), nên OM ⊥ BC. b) Ta có ∠ODH = ∠OMB vì chúng là các góc nội tiếp cùng chắn cung OB trên đường tròn (O'). Ta cũng có ∠OMB = ∠OMD vì OM là đường kính của đường tròn (O') và ∠OMB và ∠OMD là các góc nội tiếp cùng chắn cung OB trên đường tròn (O'). Do đó, ∠ODH = ∠OMD. Ta có DB.DC = DA.DH (vì D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn (O)). Ta cũng có MA.MD = MB² = MC² (vì MB và MC là các tiếp tuyến của đường tròn (O)). Do đó, DB.DC.MA = DA.DH.MA = AB.AC.MD (vì DA.DH = AB.AC). Câu 1. Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx-2y=5\\3x+2y=-1\end{array}\right.$ và tìm giá trị của biểu thức $P=x^5_0-2y_0$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm nghiệm $(x_0; y_0)$. Cộng hai phương trình lại: \[ (x - 2y) + (3x + 2y) = 5 + (-1) \] \[ 4x = 4 \] \[ x = 1 \] Thay $x = 1$ vào phương trình đầu tiên: \[ 1 - 2y = 5 \] \[ -2y = 4 \] \[ y = -2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x_0; y_0) = (1; -2)$. Bước 2: Thay $(x_0; y_0)$ vào biểu thức $P = x^5_0 - 2y_0$. \[ P = 1^5 - 2(-2) \] \[ P = 1 + 4 \] \[ P = 5 \] Vậy giá trị của biểu thức $P$ là 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 2. Để giải bất phương trình $3 - 2x > -1$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Di chuyển các số hạng sang một vế: \[ 3 - 2x > -1 \] Chuyển số 3 sang vế phải: \[ -2x > -1 - 3 \] 2. Thực hiện phép trừ: \[ -2x > -4 \] 3. Chia cả hai vế cho -2 (nhớ rằng khi chia cho một số âm, dấu bất đẳng thức sẽ đổi chiều): \[ x < \frac{-4}{-2} \] \[ x < 2 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 2$. Đáp án đúng là: \[ C.~x < 2. \] Câu 3. Để xác định phương trình nào có nghiệm kép, ta cần kiểm tra các phương trình đã cho để xem có phương trình nào có dạng $(x + a)^2 = 0$ hay không. Phương trình này sẽ có nghiệm kép là $x = -a$. Ta xét từng phương trình: A. $x^2 + 6x - 1 = 0$ - Phương trình này không có dạng $(x + a)^2 = 0$, nên không có nghiệm kép. B. $x^2 + 6x = 0$ - Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ x(x + 6) = 0 \] - Phương trình này có hai nghiệm riêng biệt là $x = 0$ và $x = -6$, nên không có nghiệm kép. C. $x^2 + 6x + 9 = 0$ - Ta nhận thấy rằng phương trình này có thể viết lại dưới dạng: \[ (x + 3)^2 = 0 \] - Phương trình này có nghiệm kép là $x = -3$. D. $x^2 - 9 = 0$ - Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ (x - 3)(x + 3) = 0 \] - Phương trình này có hai nghiệm riêng biệt là $x = 3$ và $x = -3$, nên không có nghiệm kép. Vậy phương trình có nghiệm kép là phương trình C. $x^2 + 6x + 9 = 0$. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác, cụ thể là cosin. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết: - Chiều dài của thang là 4,5m. - Thang tạo với tường một góc 32°. Bước 2: Xác định các đại lượng cần tìm: - Khoảng cách từ chân thang đến chân tường. Bước 3: Áp dụng công thức cosin để tìm khoảng cách từ chân thang đến chân tường: \[ \cos(32^\circ) = \frac{\text{khoảng cách từ chân thang đến chân tường}}{\text{chiều dài của thang}} \] Bước 4: Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ \cos(32^\circ) = \frac{x}{4,5} \] Bước 5: Tìm giá trị của cos(32°): \[ \cos(32^\circ) \approx 0,848 \] Bước 6: Thay giá trị của cos(32°) vào công thức: \[ 0,848 = \frac{x}{4,5} \] Bước 7: Giải phương trình để tìm x: \[ x = 0,848 \times 4,5 \] \[ x \approx 3,816 \] Bước 8: Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ x \approx 3,8 \] Vậy khoảng cách từ chân thang đến chân tường là 3,8m. Đáp án đúng là: A. 3,8m. Câu 5. Trong tam giác đều ABC, ta có góc BAC bằng 60° vì tam giác đều có tất cả các góc bằng 60°. Góc BOC là góc ở tâm chắn cung BC, còn góc BAC là góc nội tiếp chắn cung BC. Theo tính chất góc ở tâm và góc nội tiếp, ta có: \[ \text{Góc BOC} = 2 \times \text{Góc BAC} \] Thay giá trị góc BAC vào: \[ \text{Góc BOC} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \] Vậy số đo của góc BOC là \(120^\circ\). Đáp án đúng là: \(A.~120^\circ\). Câu 6. Để tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn, chúng ta cần tính diện tích của tấm khăn vải hình tròn và diện tích của mặt bàn hình tròn, sau đó lấy diện tích của tấm khăn vải trừ đi diện tích của mặt bàn. Bước 1: Tính diện tích của tấm khăn vải hình tròn. Diện tích của một hình tròn được tính bằng công thức: \[ S = \pi \times r^2 \] Trong đó, \( r \) là bán kính của hình tròn. Đường kính của tấm khăn vải là 1,8m, nên bán kính của nó là: \[ r_{khăn} = \frac{1,8}{2} = 0,9 \text{m} \] Diện tích của tấm khăn vải là: \[ S_{khăn} = \pi \times (0,9)^2 = \pi \times 0,81 \approx 2,5447 \text{m}^2 \] Bước 2: Tính diện tích của mặt bàn hình tròn. Đường kính của mặt bàn là 1,4m, nên bán kính của nó là: \[ r_{bàn} = \frac{1,4}{2} = 0,7 \text{m} \] Diện tích của mặt bàn là: \[ S_{bàn} = \pi \times (0,7)^2 = \pi \times 0,49 \approx 1,5394 \text{m}^2 \] Bước 3: Tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn. Diện tích phần vải rủ xuống mép bàn là: \[ S_{rủ} = S_{khăn} - S_{bàn} \] \[ S_{rủ} \approx 2,5447 - 1,5394 = 1,0053 \text{m}^2 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là: \[ S_{rủ} \approx 1,01 \text{m}^2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~1,01~m^2. \] Câu 7. Phép thử "Chọn ngẫu nhiên hai học sinh trong đó có một học sinh ở nhóm thứ nhất và một học sinh ở nhóm thứ hai" có thể thực hiện theo các bước sau: - Nhóm thứ nhất có 3 học sinh nam: Đức, Hoàng và Mạnh. - Nhóm thứ hai có 4 học sinh nữ: Vân, Chi, Minh và Châu. Mỗi học sinh nam có thể kết hợp với mỗi học sinh nữ để tạo thành một cặp. Do đó, ta sẽ có: - Đức có thể kết hợp với Vân, Chi, Minh và Châu (tổng cộng 4 cặp). - Hoàng có thể kết hợp với Vân, Chi, Minh và Châu (tổng cộng 4 cặp). - Mạnh có thể kết hợp với Vân, Chi, Minh và Châu (tổng cộng 4 cặp). Tổng số cặp kết hợp là: \[ 3 \text{ học sinh nam} \times 4 \text{ học sinh nữ} = 12 \text{ cặp} \] Vậy không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử. Đáp án đúng là: B. 12. Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng các số tự nhiên từ 1 đến 20 mà khi chia cho 7 dư 1. Các số tự nhiên từ 1 đến 20 mà khi chia cho 7 dư 1 là: - 1 (vì 1 chia cho 7 dư 1) - 8 (vì 8 chia cho 7 dư 1) - 15 (vì 15 chia cho 7 dư 1) Như vậy, có 3 số tự nhiên từ 1 đến 20 mà khi chia cho 7 dư 1. Tổng số viên bi trong hộp là 20 viên. Xác suất của biến cố "Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1" là: \[ \frac{\text{số lượng các số chia 7 dư 1}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{3}{20} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{3}{20} \]