Bxjdhdbdb,,!,!;

Câu 12: Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ là đạo hàm của đạo hàm cấp một của hàm số đó. - Đạo hàm cấp một của hàm số $y = f(x)$ là $f'(x)$. - Đạo hàm của $f'(x)$ sẽ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$, ký hiệu là $f''(x)$. Do đó, đáp án đúng là: $\textcircled D.~f''(x).$ Đáp án: $\textcircled D.~f''(x).$ Câu 1: a) Đúng vì hàm số $y=f(x)=\log_{\frac12}x$ là hàm số lôgarit cơ số $\frac12$. b) Đúng vì $f(8)=\log_{\frac12}8=\log_{\frac12}(2^3)=\log_{\frac12}\left(\left(\frac12\right)^{-3}\right)=-3$. c) Sai vì phương trình $f(x)=0$ có nghiệm là $x=1$, vì $\log_{\frac12}1=0$. d) Đúng vì $f(x)>\log_{\frac12}8$ suy ra $x< 8$ và $x>0$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f(x)>-3$ là $S=(0;8)$. Câu 2: a) Đạo hàm của hàm số $f(x) = x^2 - 3x + 2$ là: \[ f'(x) = 2x - 3 \] Hệ số góc của tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ bằng $x_0$ là: \[ k = f'(x_0) = 2x_0 - 3 \] b) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm $M(x_0; y_0)$ là: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \] c) Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến với (P) tại điểm $M(-1; 6)$, ta thay $x_0 = -1$ vào đạo hàm: \[ k = f'(-1) = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \] d) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm $M(-1; 6)$ là: \[ y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1) \] \[ y = -5(x + 1) + 6 \] \[ y = -5x - 5 + 6 \] \[ y = -5x + 1 \] Đáp số: a) Hệ số góc của tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ bằng $x_0$ là $k = 2x_0 - 3$. b) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm $M(x_0; y_0)$ là $y = (2x_0 - 3)(x - x_0) + x_0^2 - 3x_0 + 2$. c) Hệ số góc của tiếp tuyến với (P) tại điểm $M(-1; 6)$ là $k = -5$. d) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm $M(-1; 6)$ là $y = -5x + 1$. Câu 1. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Do đó, góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\) chính là góc giữa đường thẳng \(SB\) và hình chiếu của nó trên mặt phẳng \((ABC)\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\) là điểm \(A\). Vậy góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\) chính là góc \( \angle ASB \). Ta có: - \(SA = a\sqrt{3}\) - \(AB = a\) Trong tam giác \(SAB\), ta có: \[ \tan(\angle ASB) = \frac{AB}{SA} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Biết rằng \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), nên ta suy ra: \[ \angle ASB = 30^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\) là \(30^\circ\). Đáp số: \(\varphi = 30^\circ\). Câu 2. Đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y = f(x) = x^2 - 2x^2 + 3x - 2 \). Bước 1: Rút gọn biểu thức của hàm số: \[ f(x) = x^2 - 2x^2 + 3x - 2 = -x^2 + 3x - 2 \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 3x - 2) \] Áp dụng công thức đạo hàm của các hàm cơ bản: \[ f'(x) = -2x + 3 \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm \( x_0 = -3 \): \[ f'(-3) = -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 = -3 \) là 9. Đáp số: \( f'(-3) = 9 \). Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức $T_n = P(1 + r)^n$, trong đó: - $T_n$ là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi sau n năm, - $P$ là số tiền ban đầu gửi vào, - $r$ là lãi suất/năm, - $n$ là số năm. Trong bài toán này: - Số tiền ban đầu gửi vào $P = 200$ triệu đồng, - Lãi suất/năm $r = 4\% = 0,04$, - Chúng ta cần tìm số năm $n$ sao cho tổng số tiền cả gốc lẫn lãi sau n năm vượt quá 1 tỉ đồng, tức là $T_n > 1000$ triệu đồng. Ta có công thức: \[ T_n = 200 \times (1 + 0,04)^n \] Chúng ta cần tìm $n$ sao cho: \[ 200 \times (1,04)^n > 1000 \] Chia cả hai vế cho 200: \[ (1,04)^n > 5 \] Bây giờ, chúng ta sẽ thử các giá trị của $n$ để tìm ra giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. - Khi $n = 10$: \[ (1,04)^{10} \approx 1,4802 \] \[ 1,4802 < 5 \] - Khi $n = 20$: \[ (1,04)^{20} \approx 2,1911 \] \[ 2,1911 < 5 \] - Khi $n = 30$: \[ (1,04)^{30} \approx 3,2434 \] \[ 3,2434 < 5 \] - Khi $n = 40$: \[ (1,04)^{40} \approx 4,8010 \] \[ 4,8010 < 5 \] - Khi $n = 41$: \[ (1,04)^{41} \approx 4,9920 \] \[ 4,9920 < 5 \] - Khi $n = 42$: \[ (1,04)^{42} \approx 5,1917 \] \[ 5,1917 > 5 \] Như vậy, sau ít nhất 42 năm thì tổng số tiền cả gốc lẫn lãi của ông A sẽ vượt quá 1 tỉ đồng. Đáp số: 42 năm. Câu 4. Để tính xác suất của sự kiện \(A \cup B\) khi \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, ta sử dụng công thức: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trước tiên, ta cần tính \(P(A \cap B)\). Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập, nên ta có: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Thay các giá trị đã cho vào công thức trên: \[ P(A \cap B) = 0,6 \cdot 0,7 = 0,42 \] Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức ban đầu để tính \(P(A \cup B)\): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = 0,6 + 0,7 - 0,42 \] \[ P(A \cup B) = 1,3 - 0,42 \] \[ P(A \cup B) = 0,88 \] Vậy xác suất của sự kiện \(A \cup B\) là: \[ P(A \cup B) = 0,88 \] Câu 1: Để giải phương trình $(\frac{2}{3})^{2+3} = (\frac{2}{3})^4$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính giá trị của mũ ở vế trái: \[ 2 + 3 = 5 \] Bước 2: Viết lại phương trình với giá trị đã tính: \[ (\frac{2}{3})^5 = (\frac{2}{3})^4 \] Bước 3: So sánh hai vế của phương trình. Ta thấy rằng hai vế đều có cùng cơ số là $\frac{2}{3}$, do đó để hai vế bằng nhau thì các mũ phải bằng nhau: \[ 5 = 4 \] Tuy nhiên, điều này là vô lý vì 5 không thể bằng 4. Do đó, phương trình này không có nghiệm. Kết luận: Phương trình $(\frac{2}{3})^{2+3} = (\frac{2}{3})^4$ không có nghiệm. Câu 2: Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy ABCD: Vì ABCD là hình vuông cạnh bằng a, nên diện tích đáy là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] 2. Tìm chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD: Ta biết rằng các mặt bên SAB và SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD. Do đó, đường cao từ S xuống đáy ABCD sẽ đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD (gọi là O). Ta có: \[ SO \perp (ABCD) \] Vì SA = 2a và O là trung điểm của BD, ta có: \[ OA = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA vuông tại O: \[ SO^2 + OA^2 = SA^2 \] Thay các giá trị vào: \[ SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (2a)^2 \] \[ SO^2 + \frac{2a^2}{4} = 4a^2 \] \[ SO^2 + \frac{a^2}{2} = 4a^2 \] \[ SO^2 = 4a^2 - \frac{a^2}{2} \] \[ SO^2 = \frac{8a^2 - a^2}{2} \] \[ SO^2 = \frac{7a^2}{2} \] \[ SO = a\sqrt{\frac{7}{2}} \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: Thể tích khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO \] Thay các giá trị đã tìm được vào: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{\frac{7}{2}} \] \[ V = \frac{1}{3} \times a^3 \sqrt{\frac{7}{2}} \] \[ V = \frac{a^3 \sqrt{14}}{6} \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ \boxed{\frac{a^3 \sqrt{14}}{6}} \] Câu 3: Để tìm vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình vận tốc: Vận tốc \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 8t + 1) = 3t^2 - 6t + 8 \] 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( v(t) \) trên đoạn [0, 10]: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( v(t) = 3t^2 - 6t + 8 \) trên đoạn [0, 10], ta cần: - Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 8) = 6t - 6 \] - Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( v'(t) = 0 \): \[ 6t - 6 = 0 \implies t = 1 \] - Kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ v(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 8 = 8 \] \[ v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 3 - 6 + 8 = 5 \] \[ v(10) = 3(10)^2 - 6(10) + 8 = 300 - 60 + 8 = 248 \] 3. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: Các giá trị của \( v(t) \) tại các điểm kiểm tra là: \[ v(0) = 8, \quad v(1) = 5, \quad v(10) = 248 \] Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( v(1) = 5 \). Vậy vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây là 5 m/s, đạt được khi \( t = 1 \) giây. Câu 4: Để tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và góc nghiêng của dốc. 1. Xác định các thông số: - Chiều dài của mỗi cột là 2,28 m. - Góc nghiêng của dốc là \(15^\circ\). 2. Tính khoảng cách giữa hai chân cột: - Vì hai cột thẳng đứng và đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai mép dốc, nên ta có thể coi đây là một tam giác vuông với góc \(15^\circ\) ở đáy. - Chiều dài của mỗi cột là cạnh bên của tam giác vuông này. 3. Áp dụng công thức trong tam giác vuông: - Ta sử dụng công thức \( \cos(15^\circ) = \frac{\text{khoảng cách giữa hai chân cột}}{\text{chiều dài của mỗi cột}} \). - Do đó, khoảng cách giữa hai chân cột là: \[ \text{khoảng cách giữa hai chân cột} = 2,28 \times \cos(15^\circ) \] - Ta biết rằng \( \cos(15^\circ) \approx 0,9659 \), nên: \[ \text{khoảng cách giữa hai chân cột} \approx 2,28 \times 0,9659 \approx 2,20 \text{ m} \] 4. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường: - Khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường chính là chiều cao của mỗi cột trừ đi phần chiều cao của tam giác vuông từ đỉnh cột xuống mặt đường. - Ta sử dụng công thức \( \sin(15^\circ) = \frac{\text{phần chiều cao của tam giác vuông từ đỉnh cột xuống mặt đường}}{\text{chiều dài của mỗi cột}} \). - Do đó, phần chiều cao của tam giác vuông từ đỉnh cột xuống mặt đường là: \[ \text{phần chiều cao của tam giác vuông từ đỉnh cột xuống mặt đường} = 2,28 \times \sin(15^\circ) \] - Ta biết rằng \( \sin(15^\circ) \approx 0,2588 \), nên: \[ \text{phần chiều cao của tam giác vuông từ đỉnh cột xuống mặt đường} \approx 2,28 \times 0,2588 \approx 0,59 \text{ m} \] - Vậy khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường là: \[ \text{khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường} = 2,28 - 0,59 \approx 1,69 \text{ m} \] 5. Kiểm tra xem cầu có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không: - Khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường là 1,69 m. - Chiều cao của xe là 2,21 m. - Vì 1,69 m < 2,21 m, nên cầu không cho phép xe cao 2,21 m đi qua. Đáp số: - Khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường là 1,69 m. - Cầu không cho phép xe cao 2,21 m đi qua.