cuuuuuuutoooo

Bài II: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \) 1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \): Thay \( x = 4 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{\sqrt{4} - 1}{4 + 9} = \frac{2 - 1}{13} = \frac{1}{13} \] 2) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \): Ta có: \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1} \] Quy đồng mẫu số: \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) + 2(\sqrt{x} + 1) - 2(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{x - \sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 2 - 2\sqrt{x} - 2}{x - 1} \] \[ B = \frac{x - \sqrt{x}}{x - 1} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \] 3) Tìm \( x \) để biểu thức \( P = A \cdot B \) đạt giá trị lớn nhất: Biểu thức \( P \) là: \[ P = A \cdot B = \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 9} \right) \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right) = \frac{\sqrt{x}}{x + 9} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta xét: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{x + 9} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (\sqrt{x} + 9) \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 \right) \geq (1 + 3)^2 = 16 \] Do đó: \[ \sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x}} \geq 8 \] Từ đây ta có: \[ \frac{\sqrt{x}}{x + 9} \leq \frac{1}{8} \] Đẳng thức xảy ra khi: \[ \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9 \] Vậy giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{1}{8} \), đạt được khi \( x = 9 \). Đáp số: 1) \( A = \frac{1}{13} \) 2) \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \) 3) Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \frac{1}{8} \), đạt được khi \( x = 9 \).