Tuvgjvfjnbfhb 8) Cho hình chóp S. ABC có SH vuông góc với (ABC), H là trung điểm của AB. Tam giác ABC vuông,tại C, $AC=a,~SH=2a,~BC=a\sqrt3.$ Gọi M là trung điểm của AC. Tính:,a) Khoảng cách từ H đến (SBC).,b) Khoảng cách từ M đến (SBC).,c) Khoảng cách từ A đến (SBC).

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

a) Khoảng cách từ H đến (SBC)

1. Tìm diện tích tam giác SBC:
   - Ta có $ BC = a\sqrt{3} $
   - $ SH = 2a $
   - Diện tích tam giác SBC:
     $$
     S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SH = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times 2a = a^2\sqrt{3}
     $$

2. Tính thể tích khối chóp S.ABC:
   - Diện tích tam giác ABC:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}
     $$
   - Thể tích khối chóp S.ABC:
     $$
     V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SH = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times 2a = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}
     $$

3. Tính khoảng cách từ H đến (SBC):
   - Thể tích khối chóp S.ABC cũng có thể tính qua diện tích đáy là SBC và chiều cao hạ từ H xuống (SBC):
     $$
     V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d(H, (SBC))
     $$
   - Do đó:
     $$
     \frac{a^3\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \times a^2\sqrt{3} \times d(H, (SBC)) \implies d(H, (SBC)) = a
     $$

b) Khoảng cách từ M đến (SBC)

1. Tìm diện tích tam giác SAC:
   - $ AC = a $
   - $ SH = 2a $
   - Diện tích tam giác SAC:
     $$
     S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SH = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2
     $$

2. Tính thể tích khối chóp S.ABC:
   - Thể tích khối chóp S.ABC đã tính ở phần trên là:
     $$
     V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}
     $$

3. Tính khoảng cách từ M đến (SBC):
   - Thể tích khối chóp S.ABC cũng có thể tính qua diện tích đáy là SBC và chiều cao hạ từ M xuống (SBC):
     $$
     V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d(M, (SBC))
     $$
   - Vì M là trung điểm của AC nên khoảng cách từ M đến (SBC) sẽ là nửa khoảng cách từ A đến (SBC):
     $$
     d(M, (SBC)) = \frac{d(A, (SBC))}{2}
     $$

c) Khoảng cách từ A đến (SBC)

1. Tính khoảng cách từ A đến (SBC):
   - Thể tích khối chóp S.ABC cũng có thể tính qua diện tích đáy là SBC và chiều cao hạ từ A xuống (SBC):
     $$
     V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d(A, (SBC))
     $$
   - Do đó:
     $$
     \frac{a^3\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \times a^2\sqrt{3} \times d(A, (SBC)) \implies d(A, (SBC)) = a
     $$

2. Kết luận:
   - Khoảng cách từ M đến (SBC) là:
     $$
     d(M, (SBC)) = \frac{a}{2}
     $$

Đáp số:
- Khoảng cách từ H đến (SBC) là $ a $
- Khoảng cách từ M đến (SBC) là $ \frac{a}{2} $
- Khoảng cách từ A đến (SBC) là $ a $